Cho phương trình $\log _2^2x + 2m{\log _2}x + 2m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} \le 64{x_2} \le 4096{x_1}?$ 

Đáp án B.

Điều kiện: $x >0$

Đặt $t = {\log _2}x.$ Phương trình trở thành: ${t^2} + 2mt + 2m - 2 = 0\left( * \right).$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì (*) có 2 nghiệm phân biệt ${t_1},{t_2}$

$\Rightarrow \Delta ' >0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 2 >0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}.$ Khi đó: ${t_1} + {t_2} = - 2m,{t_1}{t_2} = 2m - 2.$

Ta có: ${\log _2}{x_1} = {t_1},{\log _2}{x_2} = {t_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{{t_1}}}\\{x_2} = {2^{{t_2}}}\end{array} \right..$

Từ điều kiện

${x_1} \le 64{x_2} \le 4096{x_1}.$

$\Leftrightarrow {2^{{t_1}}} \le {2^6}{.2^{{t_2}}} \le {2^{12}}{.2^{{t_1}}} \Leftrightarrow {2^{{t_1}}} \le {2^{6 + {t_2}}} \le {2^{12 + {t_1}}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} - {t_2} \le 6\\{t_1} - {t_2} \ge - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {{t_1} - {t_2}} \right| \le 6$

$\Leftrightarrow {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^2} - 4{t_1}{t_2} \le 36 \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - 4\left( {2m - 2} \right) \le 36$

$\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 7 \le 0$

$\Leftrightarrow 1 - 2\sqrt 2 \le m \le 1 + 2\sqrt 2$

Có 5 giá trị nguyên của $m \in \left[ {1 - 2\sqrt 2 ;1 + 2\sqrt 2 } \right].$