Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ phương trình $3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

Đáp án A.

Xét hàm số $y = g\left( x \right) = 3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right].$

Ta có $y' = g'\left( x \right) = 3\left( {2x - 2} \right).f'\left( {{x^2} - 2x - 1} \right).$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\{x^2} - 2x - 1 = - 2\\{x^2} - 2x - 1 = - 1\\{x^2} - 2x - 1 = 1\\{x^2} - 2x - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\\x = 1 + \sqrt 3 \notin \left[ { - 1;2} \right]\\x = 1 - \sqrt 3 \\x = - 1\\x = 3 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.$

Ta có $x = - 1 \Rightarrow g\left( { - 1} \right) = 3.f\left( 2 \right) = 12$

$x = 1 - \sqrt 3 \Rightarrow g\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 3.f\left( 1 \right) = 15$

$x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 3.f\left( { - 1} \right) = - 15$

$x = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = 3.f\left( { - 2} \right) = - 12$

$x = 2 \Rightarrow g\left( 2 \right) = 3.f\left( { - 1} \right) = - 15$

Ta có bảng biến thiên:

Trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ số nghiệm của phương trình $3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = m$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)$ với đường thẳng $y = m.$ Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ thì $\left[ \begin{array}{l}m = - 12\\12 \le m < 15\end{array} \right..$ Vậy các giá trị nguyên của $m$ là: $- 12,12,13,14.$ Có bốn giá trị nguyên của $m$ nên ta chọn đáp án A.