Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\cos x + m}}{{2 - \cos x}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]\) bằng 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án D.

Đặt \(t = \cos x,x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right].\)

Xét hàm số \(y = \frac{{t + m}}{{2 - t}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

Ta có: \(y' = \frac{{2 + m}}{{{{\left( {2 - t} \right)}^2}}}.\)

Nếu \(2 + m >0 \Leftrightarrow m >- 2\) thì \(y' >0,\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right],\) suy ra:

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)

Nếu \(2 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 2\) thì \(y' < 0,\) hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right],\) suy ra:

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\) (không thỏa mãn).

Vậy \(m = 0 \Rightarrow \left| m \right| < 1.\)