Câu hỏi:
05/05/2022 15,693Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\) Hình chóp \(S.ABCD\) đều nên \(H\) là tâm hình vuông \(ABCD,\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\) và \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(HD \bot AC \Rightarrow HD \bot \left( {SAC} \right).\left( 1 \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right)\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SHM} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SHM} \right) = SM\end{array} \right.\) nên từ \(H\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SM\) tại \(K,\) suy ra \(HK \bot \left( {SCD} \right)\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\alpha = \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {HD,HK} \right) = \widehat {KHD}.\)
Tam giác \(KHD\) vuông tại \(K\) có \(HD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\sqrt 2 = a.\)
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{D^2} - H{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Vậy \(\cos \alpha = \frac{{HK}}{{HD}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Xem đáp án »
03/05/2022
38,321
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Xem đáp án »
05/05/2022
32,402
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Xem đáp án »
03/05/2022
25,330
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,\) khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
05/05/2022
4,079
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},\) liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \(f\left( x \right) = m\) có ba nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án »
03/05/2022
3,634
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 5)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận