Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) tâm \(O.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}.\) Tính góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\)?

Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}.\) Số tập hợp con gồm hai phần tử của tập hợp \(A\) là

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với đáy. Biết \(AD = 2BC = 2a\) và \(BD = a\sqrt 5 .\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) biết rằng góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\)? 

Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 1\) với trục hoành là

Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right].\) Khi đó tổng \(M + m\) bằng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) với \(m\) là tham số. Tập \(S\) là tập các giá trị nguyên của \(m\left( {m \in \left( { - 2021;2021} \right)} \right)\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {2;0} \right);B,C\) sao cho trong hai điểm \(B,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1.\) Tính số phần tử của \(S?\)

Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác\(ABC\) vuông cân tại \(A\) có cạnh \(BC = a\sqrt 2 \) và biết $A^{\text{'}}B=3a.$ Tính thể tích khối lăng trụ.