Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1},$ $d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+5=0.$ Phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại A và B sao cho $AB=3\sqrt{3}$ là

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm $A\in d_1$ theo ẩn a, điểm $B\in d_1$ theo ẩn b. Tính $\overrightarrow{AB}$

- Xác định 1 VTPT $\overrightarrow{n}$ của mp(P).

- Vì d // (P) nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0.$ Tìm a theo b hoặc ngược lại.

- Giải phương trình $AB=3\sqrt{3}$ tìm a, b.

- Đưa về bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm.

Cách giải:

Vì $\left\{\begin{array}{l}A\in d_1\Rightarrow A\left(-1+a;-2+2a;a\right)\\ B\in d_2\Rightarrow B\left(2+2b;1+b;1+b\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-a+2b+3;-2a+b+3;-a+b+1\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right).$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$

$\iff -a+2b+3-2a+b+3+2a-2b-2=0$

$\Rightarrow b=a-4$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(a-5;-a-1;-3\right)$

Khi đó ta có: $AB=\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(-a-1\right)}^2+9}=\sqrt{2{\left(a-2\right)}^2+27}\ge 3\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\left(1;2;2\right)\\ \overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;-3\right)//\left(1;1;1\right)\end{array}\right..$

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}.$

Chọn A.