Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-4z=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và điểm A(1; 3; 1) thuộc mặt phẳng (P). Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và cách đường thẳng d một khoảng lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(a;b;1\right)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$ Giá trị của a + 2b là:                   

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 3) và có 1 vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(2;-1;1\right).$

Ta thấy $A\notin d.$ Gọi $I=d\cap \left(P\right),$ khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ

                                         $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=3+t\\ x+y-4z=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=3+t\\ 1+2t-1-t-12-4t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-4\\ x=-7\\ y=3\\ z=-1\end{array}\right.$

$\Rightarrow I\left(-7;3;-1\right).$

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta .$

Khi đó ta có: $d\left(\Delta ;d\right)=d\left(\Delta ;Q\right)=d\left(A;\left(Q\right)\right)$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (Q), d ta có $AH\le AK.$

Do đó $d{\left(\Delta ;d\right)}_{\max }=AK$ khi $H\equiv K$ hay AK là đoạn vuông góc chung của d và $\Delta$.

Gọi mặt phẳng (R) chứa A và d. Khi đó mp(R) có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_1}\right]=\left(-2;4;8\right)$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AK\subset \left(R\right)\\ AK\perp \left(Q\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(R\right)\perp \left(Q\right)$

Gọi $\overrightarrow{n_Q}$ là 1 VTPT của (Q) ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_Q}\perp \overrightarrow{n_R}\\ \overrightarrow{n_Q}\perp \overrightarrow{u_1}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_R};\overrightarrow{u_1}\right]=\left(12;18;-6\right)$

Gọi $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta .$ Ta có $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta //\left(Q\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(66;-42;6\right)//\left(11;-7;1\right).$

$\Rightarrow a=11;b=-7$.

Vậy $a+2b=11+2.\left(-7\right)=-3.$

Chọn C.