Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳngd1:x−12=y+12=z−11,d2:x1=y−1−2=z+12,d3:x−32=y+2−1=z+1−2. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−1=0 với a,b nguyên dương, đi qua M(2;0;1) và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm l...

Chọn A Phương pháp giải: - Xác định các VTCP của d1, d2, d3 lần lượt là u1,u2,u3. - Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đôi một vuông góc và đồng quy tại . - Chứng minh chóp ABCD là chóp tam giác đều. - Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh n→=AB→+AC→+AD→ là một VTPT của (P). - Giải hệ nP→=ku1→±u2→±u3→, thử các trường hợp tìm . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (P) và xác định điểm thuộc (P). Giải chi tiết: Ta có các VTCP của d1, d2, d3 lần lượt là: u1→=(2;2;1),u2→=(1;−2;2),u3→=(2;−1;−2). Ta có: u1→.u2→=u2→.u3→=u1→.u3→=0 Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc. Lại có A(1;−1;1) nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại . Vì M∈(P)⇔2a+c−1=0⇔c=1−2a, suy ra (P) nhận nP→=(a;b;1−−2a) làm VTPT. Giả sử (P) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác BCD đều. Khi đó ABCD là tứ diện vuông, chóp ABCD là chóp đều. Gọi H là trọng tâm tam giác BCD⇒AH⊥(BCD) hay AH⊥(P) và AH→=13(AB→+AC→+AD→). ⇒n→=AB→+AC→+AD→ là một VTPT của (P). ⇔(a;b;1−2a)=ku1→±u2→±u3→(k≠0) Thử các trường hợp, ta có (a;b;1−2a)=(1;1;−1)⇒(P):x+y−z−1=0. Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (1;3;3).

Câu hỏi:

04/05/2022 376

Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}, d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{2}$ , $d_{3} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{- 2}$ . Mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z - 1 = 0$ với a,b nguyên dương, đi qua $M (2; 0; 1)$ và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm lả ba đỉnh của một tam giác đều. Hỏi (P) đi qua điểm nào sau đây?

A. (1;3;3)

B. (1;2;3)

C. (2;1;3)

D. (3;3;1)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học - ĐH Bách khoa năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Phương pháp giải:

- Xác định các VTCP của $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ lần lượt là $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ .

- Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đôi một vuông góc và đồng quy tại .

- Chứng minh chóp ABCD là chóp tam giác đều.

- Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh $\vec{n} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}$ là một VTPT của (P).

- Giải hệ $\vec{n_{P}} = k (\vec{u_{1}} \pm \vec{u_{2}} \pm \vec{u_{3}})$ , thử các trường hợp tìm . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (P) và xác định điểm thuộc (P).

Giải chi tiết:

Ta có các VTCP của $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ lần lượt là: $\vec{u_{1}} = (2; 2; 1), \vec{u_{2}} = (1; - 2; 2), \vec{u_{3}} = (2; - 1; - 2)$ .

Ta có: $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = \vec{u_{2}} . \vec{u_{3}} = \vec{u_{1}} . \vec{u_{3}} = 0$

Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc.

Lại có $A (1; - 1; 1)$ nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại .

Vì $M \in (P) \Leftrightarrow 2 a + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - 2 a$ , suy ra (P) nhận $\vec{n_{P}} = (a; b; 1 - - 2 a)$ làm VTPT.

Giả sử (P) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác BCD đều.

Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng , . Mặt phẳng với nguyên dương, đi qua và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm lả ba đỉnh (ảnh 1)

Khi đó ABCD là tứ diện vuông, chóp ABCD là chóp đều.

Gọi H là trọng tâm tam giác $BCD \Rightarrow AH ⊥ (BCD)$ hay $AH ⊥ (P)$ và $\vec{AH} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})$ .

$\Rightarrow \vec{n} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}$ là một VTPT của (P).

\Leftrightarrow (a; b; 1 - 2 a) = k (\vec{u_{1}} \pm \vec{u_{2}} \pm \vec{u_{3}}) (k \neq 0)

Thử các trường hợp, ta có $(a; b; 1 - 2 a) = (1; 1; - 1) \Rightarrow (P) : x + y - z - 1 = 0$ .

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (1;3;3).

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 10$ và hai điểm A(1;2;-4); B(1;2;14). Điểm M(a;b;c) là điểm nằm trên mặt cầu (S) sao cho P = MA + 2MB đạt GTNN. Khi đó a+b+c bằng:

A. $\frac{7}{41}$

B. $\frac{23}{41}$

C. 4

D. 7

Lời giải

Chọn D

Phương pháp giải:

Gọi điểm C thỏa mãn MA = 2MC

GTNN của MA + 2MB là BC

Tìm giao của BC với mặt cầu, chính là điểm M cần tìm

Giải chi tiết:

Trong không gian Õyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=10 và hai điểm A(1;2;-4) ;B(1;2;14) . Điểm M(a.b.c) là điểm nằm trên (ảnh 1)

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 0; 2)$ và bán kính $R = \sqrt{10}$ . Có

$\vec{IA} = (0; 2; - 6); IA = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{10} = 2 R$

Gọi C là điểm thỏa mãn $\vec{I C} = \frac{1}{4} \vec{I A} = (0; \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}) \Rightarrow C (1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Có ${IM}^{2} = IC$ . IA $\Rightarrow Δ IMC ~ Δ IAM$ (c. g.c)

\Rightarrow \frac{MA}{MC} = \frac{IA}{IM} = 2 \Rightarrow MA = 2 MC \Rightarrow MA + 2 MB = 2 (MB + MC) \geq BC

Đẳng thức xảy ra khi M trùng M ' là giao của đoạn BC với (S)

M’ thuộc đoạn BC $\Leftrightarrow \vec{C M'} = k \vec{C B} = (0; \frac{3}{2} k; \frac{27}{2} k) (k > 0)$

$\Leftrightarrow M^{'} (1; \frac{1}{2} + \frac{3}{2} k; \frac{1}{2} + \frac{27}{2} k)$ . Ta có

M^{'} \in (S) \Leftrightarrow {IM}^{'} = \sqrt{10} \Leftrightarrow 0 + {(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} k)}^{2} + {(\frac{27}{2} k - \frac{3}{2})}^{2} = 10

\Leftrightarrow k = \frac{1}{3} \Rightarrow M^{'} (1; 1; 5) .

Vậy $a + b + c = 7$ .

Câu 2

1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} - (m - 1) x^{2} + 3 (m - 2) x + 2022$ đồng biến trên $[2; + \infty)$

2. Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát $u_{1} = 1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}, \forall n \in ℕ *$ . Tính $l i m (u_{1} u_{2} ... u_{n})$

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến khi đạo hàm không âm.

Giải bất phương trình y’ ≥ 0 rồi cô lập m, lập bảng biến thiên trên khoảng cần xét.

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng đã cho khi và chỉ khi

$y' = m x^{2} - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2) \geq 0 \forall x \in [2; + \infty)$

$\Leftrightarrow m (x^{2} - 2 x + 3) \geq 6 - 2 x$

$\Leftrightarrow m \geq \frac{6 - 2 x}{x^{2} - 2 x + 3} (d o x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2 > 0, \forall x)$

Xét $f (x) = \frac{6 - 2 x}{x^{2} - 2 x + 3}$ trên [2;+∞) có $f' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 6}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{6}$ .

Ta có BBT

1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=1/3mx^3-(m-1)*x^2+3(m-2)*x+2022 đồng biến trên [2, dương vô cùng). (ảnh 1)

Căn cứ BBT, ta có các giá trị m cần tìm là $m \geq \frac{2}{3}$

Vậy $m \geq \frac{2}{3}$ .

b) Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát của dãy $u_{1} u_{2} ... u_{n}$ .

Từ đó tìm ra $l i m (u_{1} u_{2} ... u_{n})$ .

Giải chi tiết:

Ta có

$u_{n} = \frac{n^{2} + 2 n}{{(n + 1)}^{2}} = \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow u_{1} = \frac{1.3}{2^{2}}; u_{2} = \frac{2.4}{3^{2}}; ...; u_{n} = \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow u_{1} u_{2} ... u_{n} = \frac{1.2.3.4... n (n + 2)}{2^{2} {.3}^{2} ... {(n + 1)}^{2}} = \frac{n + 2}{2 (n + 1)}$

$\Rightarrow \lim (u_{1} u_{2} ... u_{n}) = \lim \frac{1 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{2}$

Câu 3

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{(x^{2} - 2 x) \sqrt{2 - x}}{(x - 3) [f^{2} (x) + 3 f (x)]}$ là?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong ao có 10 lá sen thẳng hàng, nằm sát mặt nước. Một con ếch đứng ở chiếc lá sen đầu tiên và nó định nhảy đến chiếc lá cuối cùng. Mỗi lần nó có thể nhảy tiến tới tích 1 hoặc 2 bước (tức là không quay lại). Hòi nó có bao nhiêu cách nhảy để đến đích?

A. 47

B. 51

C. 54

D. 55

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có 6 học sinh gồm 1 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Xác suất học sinh lớp 10 đứng xen kẽ giữa 2 học sinh lớp 12 là:

A. $\frac{1}{10}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{3}{10}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tứ điện đều ABCD có cạnh a. Mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, AC, AD lần lượt tại B, C, D giới hạn nên một hình cầu có thể tích là:

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{4 π a^{3}}{81}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{8 π a^{3}}{27}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Sự phân rã của một đồng vị phóng xạ được biểu diễn theo công thức $m (t) = m_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{r}}$ trong đó $m_{0}$ là khối lượng ban đầu của đồng vị phóng xạ (tại thời điểm $t = 0$ ); là chu kỳ bán rã của đồng vị đó. Biết rằng chu kỳ bán rã của đồng vị cacbon 14 (¹⁴C) là khoảng 5730 năm, hỏi một mẫu đồ cổ có độ tuổi là bao nhiêu năm biết rằng trong mẫu đồ cổ này chứa đồng vị cacbon 14 và đồng vị này đã mất khoảng 25% khối lượng ban đầu của nó?

A. 2300 năm

B. 2378 năm

C. 2387 năm

D. 2400 năm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học