Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay (H), một mặt phẳng đi qua trục của (H) cắt (H) theo một thiết diện như trong hình vẽ dưới. Tính thể tích của (H).

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right)=-4\left(0;0;1\right)$. Hay AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Mặt phẳng (ABCD) có một vectơ pháp tuyến $\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;4;0\right)=4\left(0;1;0\right)$, hay $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Vì $\left\{\begin{array}{l}AD\perp AB\\ AD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\right.$ nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{j}\end{array}\right.$.

Đường thẳng AD có vectơ chỉ phương là $\left[\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right]=\left(1;0;0\right)$.

Phương trình đường thẳng AD là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=1\end{array}\right.$. Do đó $D\left(1+t;0;1\right)$.

Mặt khác $AD=AB\iff \sqrt{t^2+0^2+{\left(1-1\right)}^2}=4\iff \left[\begin{array}{l}t=4\\ t=-4\end{array}\right.$.

Vì điểm D có hoành độ âm nên D(-3; 0; 1).

Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD nên I = (-1; 0; -1).

Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$, nên phương trình đường thẳng d là: $d:\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=t\\ z=-1\end{array}\right.$.

Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 thì hàm số phải liên tục tại x = 2.

Do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3-x^2-8x+10\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+ax+b\right)\iff -2=4+2a+b\iff 2a+b=-6$.

Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 nên

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2} \\ \iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-x^2-8x+10-\left(-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2+}{\lim }\frac{x^2+ax+b-\left(4+2a+b\right)}{x-2} \\ \iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+x-6\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x+2+a\right) \\ \iff 4+a=0\iff a=-4 \end{gathered}$$

Suy ra b = 2. Vậy ab = -8.