Câu hỏi:

08/05/2022 3,538

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B = a,$ $A D = 2 a$ . Tam giác $S A B$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $45^{0}$ . Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án

Phương pháp giải: - Đổi $d (M; (S A C))$ sang $d (H; (S A C))$ .

- Trong $(A B C D)$ kẻ $H E ⊥ A C (E \in A C)$ , trong $(S H E)$ kẻ $H N ⊥ S E (N \in S E)$ , chứng minh $H N ⊥ (S A C)$

- Xác định góc giữa SC và , từ đó tính $S H$ .

- Sử dụng $S_{H A C} = \frac{1}{2} H E . A C = \frac{1}{2} S_{A B C}$ , từ đó tính $H E$ .

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $H N$ .

Giải chi tiết:

hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC) (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm $A B$ . Vì $Δ S A B$ cân tại S nên $S H ⊥ A B$ .

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ S H \subset (A B C D), S H ⊥ A B \end{cases}$ $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$ .

Gọi $K = H D \cap A C$ . Áp dụng định lí T-aet ta có $\frac{D K}{H K} = \frac{D C}{A H} = 2 \Rightarrow D K = 2 H K$ .

Ta có $M D \cap (S A C) = S \Rightarrow \frac{d (M; (S A C))}{d (D; (S A C))} = \frac{S M}{S D} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow d (M; (S A C)) = \frac{1}{2} d (D; (S A C))$ .

Lại có $D H \cap (S A C) = K$ nên $\frac{d (D; (S A C))}{d (H; (S A C))} = \frac{D K}{H K} = 2 \Rightarrow d (D; (S A C)) = 2 d (H; (S A C))$ .

Do đó $d (M; (S A C)) = d (H; (S A C))$

Trong $(A B C D)$ kẻ $H E ⊥ A C (E \in A C)$ , trong $(S H E)$ kẻ $H N ⊥ S E (N \in S E)$ ta có:

$\{\begin{cases} A C ⊥ H E \\ A C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S H E) \Rightarrow A C ⊥ H N$

$\{\begin{cases} H N ⊥ S E \\ H N ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow H N ⊥ (S A C) \Rightarrow d (H; (S A C)) = H N$

Vì $S H ⊥ (A B C D)$ nên $H C$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ lên $(A B C D)$ .

$\Rightarrow ∠ (S C; (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H = 45^{0}$

$\Rightarrow Δ S H C$ vuông cân tại H $\Rightarrow S H = H C = \sqrt{B C^{2} + B H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{17}}{2}$ .

Ta có: $S_{H A C} = \frac{1}{2} H E . A C = \frac{1}{2} S_{A B C}$

$\Rightarrow H E . A C = \frac{1}{2} . A B . B C \Rightarrow H E = \frac{\frac{1}{2} . A B . B C}{A C} = \frac{\frac{1}{2} . a .2 a}{\sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $S H E$ ta có:

Nên $H N = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{17}}{2} . \frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{\frac{17 a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{5}}} = \frac{a \sqrt{1513}}{89}$

Vậy

d (M; (S A C)) = \frac{a \sqrt{1513}}{89}

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = x (x - 1) (x - 2) ... (x - 2018)$ tại điểm $x = 0$ .

A. $f^{'} (0) = 0.$

B. $f^{'} (0) = - 2018! .$

C. $f^{'} (0) = 2018! .$

D. $f^{'} (0) = 2018.$

Lời giải

Phương pháp giải: ${(f . g)}^{'} = f^{'} . g + f . g^{'}$

Giải chi tiết:

$f (x) = x (x - 1) (x - 2) ... (x - 2018)$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 1. (x - 1) (x - 2) ... (x - 2018) + x .1. (x - 2) ... (x - 2018) + x (x - 1) .1. (x - 2) ... (x - 2018) + ... +$

$x . (x - 1) (x - 2) ... (x - 2017) .1$

$\Rightarrow f^{'} (0) = 1. (- 1) (- 2) ... (- 2018) + 0 + 0 + ... + 0 = 1.2...2018 = 2018!$

Chọn đáp án C.

Câu 2

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:

Ông đò Lai Châu bạn tôi làm nghề chở đò dọc sông Đà đã 10 năm liền và thôi làm đò cũng đã đôi chục năm nay. Tay ông lêu nghêu như cái sào. Chân ông lúc nào cũng khuỳnh khuỳnh gò lại như kẹp lấy cái cuống lái tưởng tượng. Giọng ông nói ào ào như tiếng nước trước mặt ghềnh sông. Nhỡn giới ông vòi vọi như lúc nào cũng mong một cái bến xa nào trong sương mù. Quê ông ở ngay chỗ ngã tư sông sát tỉnh. Ông chở đò dọc, chở chè mạn, chè cối từ Mường Lay về Hòa Bình, có khi trở về đến tận bến Nứa Hà Nội. Ông bảo: Chạy thuyền trên sông không có thác, nó sẽ dễ dại tay chân và buồn ngủ. Cho nên ông chỉ muốn cắm thuyền ở Chợ Bờ, cái chỗ biên giới thủy phân cuối cùng của đá thác sông Đà…

Trên dòng sông Đà, ông xuôi ngược hơn trăm lần rồi. Chính tay ông giữ lái đò độ sâu chục lần cho những chuyến thuyền then đuôi én sâu mái chèo. Trí nhớ ông được rèn luyện cao độ bằng cách lấy mắt mà nhớ tỉ mỉ như đóng đanh vào lòng tất cả những luồng nước, những con thác hiểm trở sông Đà, với người lái đò ấy, như thiên anh hùng ca mà ông đã thuộc lòng từ dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm than, chấm xuống dòng…

(Trích Người lái đò Sông Đà – Nguyễn Tuân, Ngữ văn 12, Tập một, NXB Giáo dục)

Xác định thể loại văn bản trên:

A. Thể loại văn bản: truyện ngắn.

B. Thể loại văn bản: truyện.

C. Thể loại văn bản: kí.

D. Thể loại văn bản: tùy bút.

Lời giải

Phương pháp giải: Căn cứ bài Người lái đò Sông Đà.

Giải chi tiết:

Thể loại văn bản: tùy bút.Vì văn bản thuộc loại hình kí, dùng để ghi chép những gì mà người khác quan sát và suy ngẫm về cuộc sống và con người xung quanh.

Chọn đáp án D.

Câu 3

Sóng điện từ là quá trình lan truyền của điện từ trường biến thiên, trong không gian. Khi nói về quan hệ giữa điện trường và từ trường của điện từ trường trên thì kết luận nào sau đây là đúng?

A. Véctơ cường độ điện trường và cảm ứng từ cùng phương và cùng độ lớn.

B. Tại mỗi điểm của không gian, điện trường và từ trường luôn luôn dao động ngược pha.

C. Tại mỗi điểm của không gian, điện trường và từ trường luôn luôn dao động lệch pha nhau

\frac{π}{2}

D. Điện trường và từ trường biến thiên theo thời gian với cùng chu kì.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:

“...Em ơi em Đất Nước là máu xương của mình

Phải biết gắn bó và san sẻ

Phải biết hóa thân cho dáng hình xứ sở

Làm nên Đất Nước muôn đời…”.

(Trích đoạn trích Đất Nước của Nguyễn Khoa Điềm, SGK Ngữ văn lớp 12, tập 1, trang 120)

Tại sao từ “Đất Nước” được viết hoa?

A. Vì Đất Nước là tên địa danh.

B. Vì Đất Nước là từ trang trọng.

C. Vì Đất Nước là một sinh thể, thể hiện sự tôn trọng, ngợi ca, thành kính, thiêng liêng khi cảm nhận về Đất Nước của nhà thơ Nguyễn Khoa Điềm.

D. Vì Đất Nước là danh từ riêng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 z - 5 = 0$ và hai điểm $A (2; 4; 1)$ , $B (- 1; 1; 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ .

A. x+ 2y + 3z - 11 = 0.

B. 2y - 3z - 11 = 0.

C. 2y + 3z + 11 = 0.

D. 2y + 3z - 11 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Khi làm nguội 1026,4 gam dung dịch bão hòa muối sunfat kim loại kiềm ngậm nước có công thức M₂SO₄.nH₂O với 7 < n < 12 từ nhiệt độ 80⁰C xuống nhiệt độ 10⁰C thì thấy có 395,4 gam tinh thể ngậm nước tách ra. Biết độ tan của muối ở 80⁰C là 28,3 gam và ở 10⁰C là 9 gam. Tìm công thức phân tử muối ngậm nước.

A. Na₂SO₄.10H₂O.

B. K₂SO₄.10H₂O.

C. Na₂SO₄.8H₂O.

D. K₂SO₄.8H₂O.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{2 - x}$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính đạo hàm của hàm số fx=xx−1x−2...x−2018 tại điểm x=0.

Sóng điện từ là quá trình lan truyền của điện từ trường biến thiên, trong không gian. Khi nói về quan hệ giữa điện trường và từ trường của điện từ trường trên thì kết luận nào sau đây là đúng?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:x−3y+2z−5=0 và hai điểm A2;4;1, B−1;1;3. Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng P.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x−32−x tại điểm có hoành độ x=−1 có hệ số góc bằng bao nhiêu?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = x (x - 1) (x - 2) ... (x - 2018)$ tại điểm $x = 0$ .

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 z - 5 = 0$ và hai điểm $A (2; 4; 1)$ , $B (- 1; 1; 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ .

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{2 - x}$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?