Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng 2a và đáy là hình vuông có cạnh bằng a. Gọi M, N, P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên $ABB\text{'}A\text{'},BCC\text{'}B\text{'},CDD\text{'}C\text{'}$ và ADD'A'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M,N, P, Q bằng: 

Phương pháp:

- Sử dụng phân chia khối đa diện

- Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp V = S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao hình hộp.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}S.h$ với S là diện tích đáy, h là chiều cao hình hộp.

Cách giải:

Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là $V=2a.a^2=2a^3$

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AA', BB' lần lượt tại A'', B''

Qua P kẻ đường thẳng song song với DC cắt CC', DD' lần lượt tại D'', C''.

Suy ra A''; Q; D'' thẳng hàng và $A"D"//AD;B";N;C"$ thẳng hàng và B''C''//BC

Ta có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của $A"B",B"C",C"D",D"A"$

A'', B'', C'', D'' lần lượt là trung điểm của $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'},DD\text{'}.$

Suy ra $V_{ABCD.A"B"C"D"}=\frac{1}{2}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{2}.72=36$

Ta có $V_{ABCD.MNPQ}=V_{ABCD.A"B"C"D"}-V_{D.QD"P}-V_{C.NC"P}-V_{B.MNB"}-V_{A.QMA"}$

$V_{D.QD"P}=\frac{1}{3}.S_{QD"P}.d\left(D;\left(QD"P\right)\right)$

$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}QD".D"P.\sin \angle QD"P.d\left(D;\left(A"B"C"D"\right)\right)$

$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}AD.\frac{1}{2}DC.\sin \angle ADC.d\left(D;\left(A"B"C"D"\right)\right)$

$=\frac{1}{24}.AD.DC.\sin \angle ADC.d\left(D;\left(A"B"C"D"\right)\right)$

$=\frac{1}{24}.S_{ABCD}.d\left(D;\left(A"B"C"D"\right)\right)$

$=\frac{1}{24}.V_{ABCD.A"B"C"D"}$

$=\frac{1}{24}.2a^3=\frac{a^3}{12}$

Tương tự ta có $V_{C.NC"P}=V_{B.MNB"}=V_{A.QMA"}=\frac{a^3}{12}$

Suy ra $V_{ABCD.MNPQ}=V_{ABCD.A"B"C"D"}-V_{D.QD"P}-V_{C.NC"P}-V_{B.MNB"}-V_{A.QMA"}=2a^3-4.\frac{a^3}{12}=\frac{5a^3}{3}.$

Chọn C.