Câu hỏi:

09/05/2022 530

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:

A. $V = \frac{8 a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{10 a^{3}}{3}$

C. $V = 2 a^{3}$

D. $V = \frac{32 a^{3}}{3}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

- Đặt SO = x > a tính SI, SH theo x, a.

- Sử dụng $Δ S I H ∽ Δ S M O (g . g),$ tính OM theo x, a từ đó tính $S_{A B C D}$ theo x, a.

- Tính $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$ theo x, a.

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của $V_{S . A B C D}$ .

Cách giải:

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a (ảnh 1)

Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Trong (SMN) dựng tia phân giác của góc $∠ S M N$ cắt SO tại $I \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

Kẻ $I H ⊥ S M (H \in S M)$ ta có r = IH = IO = a là bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

Đặt $S O = x > a \Rightarrow S I = S O - I O = x - a$

Áp dụng định lý Pytago ta có $S H = \sqrt{S I^{2} - I H^{2}} = \sqrt{{(x - a)}^{2} - a^{2}} = \sqrt{x^{2} - 2 a x} .$

Vì $Δ S I H ∽ Δ S M O (g . g) \Rightarrow \frac{S H}{S O} = \frac{I H}{O M} \Rightarrow \frac{\sqrt{x^{2} - 2 a x}}{x} = \frac{a}{O M} \Rightarrow O M = \frac{a x}{\sqrt{x^{2} - 2 a x}}$

$\Rightarrow A B = 2 O M = \frac{2 a x}{\sqrt{x^{2} - 2 a x}} \Rightarrow S_{A B C D} = A B^{2} = \frac{4 a^{2} x^{2}}{x^{2} - 2 a x}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} x . \frac{4 a^{2} x^{2}}{x^{2} - 2 a x} = \frac{4 a^{2}}{3} . \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 a x} .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 a x} (x > 0)$ ta có

$f' (x) = \frac{3 x^{2} . (x^{2} - 2 a x) - x^{3} . (2 x - 2 a)}{{(x^{2} - 2 a x)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 6 a x^{3} - 2 x^{4} + 2 a x^{3}}{{(x^{2} - 2 a x)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{x^{4} - 4 a x^{3}}{{(x^{2} - 2 a x)}^{2}}$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow x^{3} (x - 4 a) = 0 \Leftrightarrow x = 4 a (t m)$

$\Rightarrow \min_{(a; + \infty)} f (x) = f (4 a) = \frac{64 a^{3}}{{(4 a)}^{2} - 2 a .4 a} = 8 a .$

Vậy $\min V_{S . A B C D} = \frac{4 a^{2}}{3} .8 a = \frac{32 a^{3}}{3}$ , đạt được khi SO = 4a.

Chọn D.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

A. 5005

B. 3003

C. 4004

D. 58690

Xem đáp án » 07/05/2022 17,073

Câu 2:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

A. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{3 x^{2}}{2} + \cos x + C$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = 3 x^{2} + \cos x + C$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{3 x^{2}}{2} - \cos x + C$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = 3 + \cos x + C$

Xem đáp án » 08/05/2022 5,269

Câu 3:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

A. y = -3

B. y = 1

C. x = 1

D. x = -1

Xem đáp án » 07/05/2022 4,822

Câu 4:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

A. $I = \int_{1}^{e} (3 t + 1) d t$

B. $I = \int_{0}^{1} (3 t + 1) d t$

C. $I = \int_{0}^{1} \frac{3 t + 1}{t} d t$

D. $I = \int_{0}^{1} \frac{3 t + 1}{e^{t}} d t$

Xem đáp án » 09/05/2022 4,462

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. (-1; 4)

C. (-3; 2)

D. $(4; + \infty)$

Xem đáp án » 09/05/2022 4,395

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $φ$ và $\sin φ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

A. $\frac{a}{5}$

B. $\frac{2 a}{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án » 08/05/2022 4,020

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. f(x) liên tục tại $x_{0} = 0.$

B. $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1$

C. f(0) = 0

D. $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0$

Xem đáp án » 07/05/2022 1,961

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số của x25y10 trong khai triển x3+xy15 là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=−3x+1x−1 có phương trình là:

Cho tích phân I=∫1e3lnx+1xdx. Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm f'x=2−xx+3gx+2021 trong đó gx<0 ∀x∈ℝ. Hàm số y=f1−x+2021x+2022 đồng biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng φ và sinφ=55. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

Cho hàm số fx=x2+1 khi x>0x khi x≤0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?