Cho các số thực a, b > 1 và phương trình ${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2021$ có hai nghiệm phân biệt m, n. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(4a^2+25b^2\right)\left(100m^2{n}^2+1\right)$ bằng:                     

Phương pháp:

- Từ giả thiết ${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2021$ đưa về phương trình bậc hai ẩn lnx.

- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích abmn.

- Tìm GTNN của biểu thức P nhờ BĐT Cô-si.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2021\left(x>0\right)$

$\iff \left(1+{\log }_{a}x\right)\left(1+{\log }_{b}x\right)=2021$

$\iff 1+{\log }_{a}x.{\log }_{b}x+{\log }_{a}x+{\log }_{b}x=2021$

$\iff {\log }_{a}x.{\log }_{b}x+{\log }_{a}x+{\log }_{b}x=2020$

$\iff \frac{\ln x}{\ln a}.\frac{\ln x}{\ln b}+\frac{\ln x}{\ln a}+\frac{\ln x}{\ln b}=2020$

$\iff {\ln }^{2}x+\left(\ln a+\ln b\right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$

$\iff {\ln }^{2}x+\ln \left(ab\right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$

Đặt t = lnx phương trình trở thành $t^2+\ln \left(ab\right).t-2020\ln a.\ln b=0\left(*\right)$

Vì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nên $\Delta ={\ln }^2\left(ab\right)+8080\ln a.\ln b>0.$

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt m, n nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left[\begin{array}{l}{t}_1=\ln m\\ t_2=\ln n\end{array}\right..$

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có $\ln m+\ln n=-\ln \left(ab\right)\iff mn=\frac{1}{ab}\iff mnab=1.$

Do $a,b>1\Rightarrow mn>0.$

Xét $P=\left(4a^2+25b^2\right)\left(100m^2{n}^2+1\right)$ ta có

$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{4a^2.25b^2}.2\sqrt{100m^2{n}^2.1}$

$\Rightarrow P\ge 2.10ab.20mn=400abmn\ge 400$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}2a=5b\\ 10mn=1=\frac{10}{ab}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2a=5b\\ ab=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=2\end{array}\right..$

Vậy $P_{\min }=400\iff a=5,b=2.$

Chọn D.