Câu hỏi:

09/05/2022 1,263

Cho các số thực a, b > 1 và phương trình logaaxlogbbx=2021 có hai nghiệm phân biệt m, n. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4a2+25b2100m2n2+1 bằng:                     

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Từ giả thiết logaaxlogbbx=2021 đưa về phương trình bậc hai ẩn lnx.

- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích abmn.

- Tìm GTNN của biểu thức P nhờ BĐT Cô-si.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

logaaxlogbbx=2021x>0

1+logax1+logbx=2021

1+logax.logbx+logax+logbx=2021

logax.logbx+logax+logbx=2020

lnxlna.lnxlnb+lnxlna+lnxlnb=2020

ln2x+lna+lnblnx2020lna.lnb=0

ln2x+lnablnx2020lna.lnb=0

Đặt t = lnx phương trình trở thành t2+lnab.t2020lna.lnb=0 *

Vì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nên Δ=ln2ab+8080lna.lnb>0.

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt m, n nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt t1=lnmt2=lnn.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có lnm+lnn=lnabmn=1abmnab=1.

Do a,b>1mn>0.

Xét P=4a2+25b2100m2n2+1 ta có

P24a2.25b2.2100m2n2.1

P2.10ab.20mn=400abmn400

Dấu “=” xảy ra 2a=5b10mn=1=10ab2a=5bab=10a=5b=2.

Vậy Pmin=400a=5,b=2.

Chọn D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hệ số của x25y10 trong khai triển x3+xy15 là:

Xem đáp án » 07/05/2022 17,231

Câu 2:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là 

Xem đáp án » 08/05/2022 5,575

Câu 3:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3x+1x1 có phương trình là:

Xem đáp án » 07/05/2022 4,911

Câu 4:

Cho tích phân I=1e3lnx+1xdx. Nếu đặt t = lnx thì: 

Xem đáp án » 09/05/2022 4,643

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên  và có đạo hàm f'x=2xx+3gx+2021 trong đó gx<0 x. Hàm số y=f1x+2021x+2022 đồng biến trên khoảng nào?

Xem đáp án » 09/05/2022 4,514

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng φ sinφ=55. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng: 

Xem đáp án » 08/05/2022 4,108

Câu 7:

Cho hàm số fx=x2+1 khi x>0x       khi x0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Xem đáp án » 07/05/2022 2,245

Bình luận


Bình luận