Cho n là số tự nhiên có bốn chữ số bất kì. Gọi S là tập hợp tất cả các số thực a thỏa mãn $3^{\alpha }=n.$ Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất để chọn được một số tự nhiên bằng:

Phương pháp:

- Tìm số các số tự nhiên có 4 chữ số, từ đó suy ra số phần tử của tập hợp S và số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “chọn được một số tự nhiên”.

- Từ giả thiết $3^{\alpha }=n$ tìm n cho $n\in \left[1000;9999\right],$ từ đó tìm $\alpha \in \mathbb{N}$ thỏa mãn.

- Tính xác suất của biến cố.

Cách giải:

Vì n là số tự nhiên có bốn chữ số bất kì nên $1000\le n\le 9999$ và có $9999-1000+1=9000$ số tự nhiên có 4 chữ số.

Theo bài ra ta có $3^{\alpha }=n\iff \alpha ={\log }_{3}n.$

Vì có 9000 số tự nhiên có 4 chữ số nên tập hợp S có 9000 phần tử $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là

$n\left(\Omega \right)=9000.$

Gọi A là biến cố: “chọn được một số tự nhiên”.

Ta có

$1000\le n\le 9999\iff {\log }_{3}1000\le {\log }_{3}n\le {\log }_{3}9999$

$\Rightarrow 6,29\le {\log }_{3}n\le 8,38\Rightarrow 6,29\le \alpha \le 8,38$

Mà $\alpha \in \mathbb{N}\Rightarrow \alpha \in \left\{7;8\right\}\Rightarrow n\left(A\right)=2.$

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{9000}=\frac{1}{4500}$.

Chọn A.