Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Lấy điểm M thuộc cạnh SC sao cho CM = 2MS. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM bằng $\frac{4\sqrt{21}}{7}.$ Thể tích của khối tứ diện C.ABM bằng:

Gọi H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều nên $SH\perp AB.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)=AB\\ SH\subset \left(SAB\right),SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$

Dựng hình vuông ABFC ta có $BF//AC\Rightarrow AC//\left(BMF\right)$

$\Rightarrow d\left(AC;BM\right)=d\left(AC;\left(BMF\right)\right)=d\left(A;\left(BMF\right)\right)$.

Lại có $AH\cap \left(BMF\right)=B\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(BMF\right)\right)}{d\left(H;\left(BMF\right)\right)}=\frac{AB}{HB}=2\Rightarrow d\left(A;\left(BMF\right)\right)=2d\left(H;\left(BMF\right)\right)$

Trong (SHC) kẻ $ME//SH\left(E\in CH\right)\Rightarrow ME\perp \left(ABC\right).$

Kéo dài HC cắt BF tại N, áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{BH}{FC}=\frac{NH}{NC}=\frac{NB}{NF}=\frac{1}{2}\Rightarrow H$ là trung điểm của NC.

$\Rightarrow ACBN$ là hình bình hành

Ta có: $HE\cap \left(BMF\right)=N\Rightarrow \frac{d\left(H;\left(BMF\right)\right)}{d\left(E;\left(BMF\right)\right)}=\frac{HN}{EN}=\frac{HC}{HE+HC}$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{HE}{HC}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}\Rightarrow HE=\frac{1}{3}HC$

$\Rightarrow \frac{d\left(H;\left(BMF\right)\right)}{d\left(E;\left(BMF\right)\right)}=\frac{HN}{EN}=\frac{HC}{HE+HC}=\frac{HC}{\frac{1}{3}HC+HC}=\frac{3}{4}\Rightarrow d\left(H;\left(BMF\right)\right)=\frac{3}{4}d\left(E;\left(BMF\right)\right)$

$\Rightarrow d\left(AC;BM\right)=d\left(A;\left(BMF\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(E;\left(BMF\right)\right)$

Trong (ABC) kẻ $EI//AB\left(I\in BF\right),$ trong (MEI) kẻ $EJ\perp IM$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BF\perp AB,EI//AB\Rightarrow BF\perp EI\\ BF\perp ME\left(ME\perp \left(ABC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow BF\perp \left(MEI\right)\Rightarrow BF\perp EJ$

$\left\{\begin{array}{l}EJ\perp BF\\ EJ\perp MI\end{array}\right.\Rightarrow EJ\perp \left(BMF\right)\Rightarrow d\left(E;\left(BMF\right)\right)=EJ$

$\Rightarrow d\left(AC;BM\right)=\frac{3}{2}d\left(E;\left(BMF\right)\right)=\frac{3}{2}EJ=\frac{4\sqrt{21}}{7}\Rightarrow EJ=\frac{8}{\sqrt{21}}.$

Ta có: $\frac{ME}{SH}=\frac{CM}{CS}=\frac{2}{3}\Rightarrow ME=\frac{2}{3}SH.$ Mà $SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow ME=\frac{AB\sqrt{3}}{3}.$

Ta có: $\frac{HN}{EN}=\frac{3}{4}\left(cmt\right)\Rightarrow \frac{NE}{NH}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{NE}{NC}=\frac{2}{3}=\frac{IE}{FC}=\frac{IE}{AB}\Rightarrow IE=\frac{2}{3}AB.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MEI ta có:

$\frac{1}{E{J}^2}=\frac{1}{E{I}^2}+\frac{1}{E{M}^2}$

$\Rightarrow \frac{21}{64}=\frac{1}{\frac{4}{9}A{B}^2}+\frac{1}{\frac{1}{3}A{B}^2}$

$\Rightarrow \frac{21}{64}=\frac{21}{4A{B}^2}$

$\iff AB=4$

$\Rightarrow ME=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3},S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}A{B}^2=8.$

Vậy $V_{C.ABM}=\frac{1}{3}ME.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{3}.8=\frac{32\sqrt{3}}{9}.$

Chọn B.