Câu hỏi:

09/05/2022 174

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Lấy điểm M thuộc cạnh SC sao cho CM = 2MS. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM bằng $\frac{4 \sqrt{21}}{7} .$ Thể tích của khối tứ diện C.ABM bằng:

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$

Đáp án chính xác

C. $32 \sqrt{3}$

D. $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Tam giác (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều nên $S H ⊥ A B .$

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C) = A B \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C) .$

Dựng hình vuông ABFC ta có $B F / / A C \Rightarrow A C / / (B M F)$

$\Rightarrow d (A C; B M) = d (A C; (B M F)) = d (A; (B M F))$ .

Lại có $A H \cap (B M F) = B \Rightarrow \frac{d (A; (B M F))}{d (H; (B M F))} = \frac{A B}{H B} = 2 \Rightarrow d (A; (B M F)) = 2 d (H; (B M F))$

Trong (SHC) kẻ $M E / / S H (E \in C H) \Rightarrow M E ⊥ (A B C) .$

Kéo dài HC cắt BF tại N, áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{B H}{F C} = \frac{N H}{N C} = \frac{N B}{N F} = \frac{1}{2} \Rightarrow H$ là trung điểm của NC.

$\Rightarrow A C B N$ là hình bình hành

Ta có: $H E \cap (B M F) = N \Rightarrow \frac{d (H; (B M F))}{d (E; (B M F))} = \frac{H N}{E N} = \frac{H C}{H E + H C}$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{H E}{H C} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3} \Rightarrow H E = \frac{1}{3} H C$

$\Rightarrow \frac{d (H; (B M F))}{d (E; (B M F))} = \frac{H N}{E N} = \frac{H C}{H E + H C} = \frac{H C}{\frac{1}{3} H C + H C} = \frac{3}{4} \Rightarrow d (H; (B M F)) = \frac{3}{4} d (E; (B M F))$

$\Rightarrow d (A C; B M) = d (A; (B M F)) = \frac{3}{2} d (E; (B M F))$

Trong (ABC) kẻ $E I / / A B (I \in B F),$ trong (MEI) kẻ $E J ⊥ I M$ ta có:

$\{\begin{cases} B F ⊥ A B, E I / / A B \Rightarrow B F ⊥ E I \\ B F ⊥ M E (M E ⊥ (A B C)) \end{cases} \Rightarrow B F ⊥ (M E I) \Rightarrow B F ⊥ E J$

$\{\begin{cases} E J ⊥ B F \\ E J ⊥ M I \end{cases} \Rightarrow E J ⊥ (B M F) \Rightarrow d (E; (B M F)) = E J$

$\Rightarrow d (A C; B M) = \frac{3}{2} d (E; (B M F)) = \frac{3}{2} E J = \frac{4 \sqrt{21}}{7} \Rightarrow E J = \frac{8}{\sqrt{21}} .$

Ta có: $\frac{M E}{S H} = \frac{C M}{C S} = \frac{2}{3} \Rightarrow M E = \frac{2}{3} S H .$ Mà $S H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M E = \frac{A B \sqrt{3}}{3} .$

Ta có: $\frac{H N}{E N} = \frac{3}{4} (c m t) \Rightarrow \frac{N E}{N H} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{N E}{N C} = \frac{2}{3} = \frac{I E}{F C} = \frac{I E}{A B} \Rightarrow I E = \frac{2}{3} A B .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MEI ta có:

$\frac{1}{E J^{2}} = \frac{1}{E I^{2}} + \frac{1}{E M^{2}}$

$\Rightarrow \frac{21}{64} = \frac{1}{\frac{4}{9} A B^{2}} + \frac{1}{\frac{1}{3} A B^{2}}$

$\Rightarrow \frac{21}{64} = \frac{21}{4 A B^{2}}$

$\Leftrightarrow A B = 4$

$\Rightarrow M E = \frac{A B \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = 8.$

Vậy $V_{C . A B M} = \frac{1}{3} M E . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{3} .8 = \frac{32 \sqrt{3}}{9} .$

Chọn B.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

A. 5005

B. 3003

C. 4004

D. 58690

Xem đáp án » 07/05/2022 17,073

Câu 2:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

A. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{3 x^{2}}{2} + \cos x + C$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = 3 x^{2} + \cos x + C$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{3 x^{2}}{2} - \cos x + C$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = 3 + \cos x + C$

Xem đáp án » 08/05/2022 5,269

Câu 3:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

A. y = -3

B. y = 1

C. x = 1

D. x = -1

Xem đáp án » 07/05/2022 4,823

Câu 4:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

A. $I = \int_{1}^{e} (3 t + 1) d t$

B. $I = \int_{0}^{1} (3 t + 1) d t$

C. $I = \int_{0}^{1} \frac{3 t + 1}{t} d t$

D. $I = \int_{0}^{1} \frac{3 t + 1}{e^{t}} d t$

Xem đáp án » 09/05/2022 4,463

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. (-1; 4)

C. (-3; 2)

D. $(4; + \infty)$

Xem đáp án » 09/05/2022 4,396

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $φ$ và $\sin φ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

A. $\frac{a}{5}$

B. $\frac{2 a}{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án » 08/05/2022 4,021

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. f(x) liên tục tại $x_{0} = 0.$

B. $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1$

C. f(0) = 0

D. $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0$

Xem đáp án » 07/05/2022 1,961

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số của x25y10 trong khai triển x3+xy15 là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x - sin x là

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=−3x+1x−1 có phương trình là:

Cho tích phân I=∫1e3lnx+1xdx. Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm f'x=2−xx+3gx+2021 trong đó gx<0 ∀x∈ℝ. Hàm số y=f1−x+2021x+2022 đồng biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng φ và sinφ=55. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

Cho hàm số fx=x2+1 khi x>0x khi x≤0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Hệ số của $x^{25} y^{10}$ trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{15}$ là:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 3 x + 1}{x - 1}$ có phương trình là:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} \frac{3 \ln x + 1}{x} d x$ . Nếu đặt t = lnx thì:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = (2 - x) (x + 3) g (x) + 2021$ trong đó $g (x) < 0 \forall x \in ℝ$ . Hàm số $y = f (1 - x) + 2021 x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 k h i x > 0 \\ x k h i x \leq 0 \end{cases}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?