Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và $f\left(0\right)=0$ , $f\left(4\right)>4$ . Biết hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\left|f\left(x^2\right)-2x\right|$ là?

Đáp án D

Nhắc lại: Số cực trị hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ được tính bằng tổng số cực trị hàm số f(x) và giao điểm của hàm số f(x) với trục hoành.

Ta có $h\left(x\right)=f\left(x^2\right)-2x\iff h^{\text{'}}\left(x\right)=2x{f}^{\text{'}}\left(x^2\right)-2=2\left(x{f}^{\text{'}}\left(x^2\right)-1\right)$

Xét $h\left(x\right)=0\iff x{f}^{\text{'}}\left(x^2\right)-1=0$       (1)

Nếu $x\le 0$ thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu $x>0$ đặt $x^2=t$ thì (1) trở thành $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{t}}$      (2)

Vẽ đồ thị hai hàm số $y=f^{\text{'}}\left(t\right)$, $y=\frac{1}{\sqrt{t}}$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Quan sát hai đồ thị ta thấy

- Nếu $0<t\le 1$ thì hàm số f '(t) đồng biến, còn hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{t}}$ nghịch biến nên (2) có nghiệm duy nhất $t=t_0\in \left(0;1\right)$.

- Nếu $t>1$ thì $f^{\text{'}}\left(t\right)>1>\frac{1}{\sqrt{t}}$ nên (2) vô nghiệm.

Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên

Ta có $\left\{\begin{array}{l}h\left(0\right)=0\\ h\left(2\right)>0\end{array}\right.$. Nên hàm số h(x) có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có $g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|$ có 3 cực trị.