Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn $\left|z+1+3i\right|=\left|z-2-i\right|$ là phương trình đường thẳng có dạng $ax+by+c=0$. Khi đó tỉ số $\frac{a}{b}$ bằng:

Đáp án: $\frac{3}{4}$

Phương pháp giải: - Đặt $z=a+bi$. Áp dụng công thức tính môđun số phức: $z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$.

- Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a và b và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z.

Giải chi tiết: Đặt $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$.

Theo bài ra ta có: $\left|z+1+3i\right|=\left|z-2-i\right|$

$\iff \left|a+bi+1+3i\right|=\left|a+bi-2-i\right|$

$\iff {\left(a+1\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2={\left(a-2\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2$

$\iff a^2+2a+1+b^2+6b+9=a^2-4a+4+b^2-2b+1$

$\iff 6a+8b+5=0$.

Suy ra tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức z là đường thẳng $6x+8y+5=0$.

Dựa vào các đáp án ta có: Với $A\left(-1;-3\right),B\left(2;1\right)$$\Rightarrow$trung điểm của đoạn AB là $I\left(\frac{1}{2};-1\right)$.

$\overrightarrow{AB}=\left(3;4\right)$ là 1 VTPT của đường trung trực của AB.

Suy ra phương trình đường trung trực của AB là:

$3\left(x-\frac{1}{2}\right)+4\left(y+1\right)=0\iff 3x+4y+\frac{5}{2}=0\iff 6x+8y+5=0$.

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng: $6x+8y+5=0$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.