Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-1=0$ và $\left(Q\right):2x-y+z-6=0.$ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A(-1; 0; 3) và chứa giao tuyến của (P) và (Q).

Phương pháp:

- Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\\ \left(Q\right)\end{array}\right.$ và suy ra phương trình đường thẳng giao tuyến của (P), (Q).

- Xác định $\overrightarrow{u}$ là VTCP của đường thẳng giao tuyến.

- Lấy M thuộc giao tuyến (bất kì). Tính $\overrightarrow{AM}.$

- (R) có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}\right].$

- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Gọi $\Delta =\left(P\right)\cap \left(Q\right)\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x+y-z-1=0\\ 2x-y+z-6=0\end{array}\right..$

Cho z = t ta có $\left\{\begin{array}{l}x+y-t-1=0\\ 2x-y+t-6=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-7=0\\ y=-x+t+1\\ z=t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}\\ y=-\frac{4}{3}+t\\ z=t\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(0;1;1\right)$ và đi qua điểm $M\left(\frac{7}{3};-\frac{4}{3};0\right).$

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{10}{3};-\frac{4}{3};-3\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right]=\left(\frac{5}{3};-\frac{10}{3};\frac{10}{3}\right)=\frac{5}{3}\left(1;-2;2\right).$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là 1 VTCP của mặt phẳng (R). Ta có $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(R\right)\\ A,M\in \left(R\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AM}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right).$

Vậy phương trình mặt phẳng (R) là: $1\left(x+1\right)-2y+2\left(z-3\right)=0\iff x-2y+2z-5=0.$

Chọn C.