Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình chữ nhật, $AB=a,AD=\frac{4}{3}a.$ Biết \[A'\] cách đều các đỉnh \[A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\] và cạnh bên \[AA' = a.\] Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Phương pháp giải:

- Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago tính \(A'O\).

- Tính thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'O.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Theo bài ra ta có: Điểm \(A'\) cách đều các đỉnh \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) nên \(A'O \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow A'O \bot AO \Rightarrow \Delta A'AO\) vuông tại \(O\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: $(AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\mathrm{ }=\sqrt{a^2+\frac{16a^2}{9}}=\frac{5a}{3}$\( \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{5a}}{6}\).

$\Rightarrow A^{\text{'}}O=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{O}^2}\mathrm{ }=\sqrt{a^2-\frac{25a^2}{36}}\mathrm{ }=\frac{a\sqrt{11}}{6}.$

\({S_{ABCD}} = AB.AD = a.\frac{4}{3}a = \frac{{4{a^2}}}{3}\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'O.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{6}.\frac{{4{a^2}}}{3} = \frac{{2\sqrt {11} {a^3}}}{9}\).