Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a. Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\)?

Đáp án: \({30^0}\)

Phương pháp giải:

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của \(B'C'\), do tam giác \(A'B'C'\) đều nên \(A'M \bot B'C'\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B'C' \bot A'M}\\{B'C' \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'M} \right)\), suy ra \(B'C' \bot AM\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'}\\{AM \subset \left( {AB'C'} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AM \bot B'C'}\\{A'M \subset \left( {A'B'C'} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A'M \bot B'C'}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AM;A'M} \right) = \angle A'MA\).

Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh 2a nên \(A'M = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \[AA'M\] có: \(\tan \angle A'MA = \frac{{AA'}}{{A'M}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\[ \Rightarrow \angle A'MA = {30^0}\].