Cho khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AC,BD\) thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng

Đáp án: \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)

Phương pháp giải:

- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Sử dụng định lí Pytago tính BF, EF.

- Tính diện tích tam giác BDF.

- Chứng minh \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\).

- Áp dụng BĐT: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).

Giải chi tiết:

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Giả sử \(AC = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = b\), theo giả thiết ta có: \({a^2} + {b^2} = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b > 0} \right)\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có:

AC chung

AB = AD (gt)

BC = CD (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BF = DF\) (2 trung tuyến tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta BDF\) cân tại F \( \Rightarrow EF \bot BD\)  (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: $BF=\sqrt{A{B}^2-A{F}^2}\mathrm{ }=\sqrt{6^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\mathrm{ }=\sqrt{36-\frac{a^2}{4}}$

$EF=\sqrt{B{F}^2-B{E}^2}\mathrm{ }=\sqrt{36-\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}}\mathrm{ }=\sqrt{36-\frac{16}{4}}\mathrm{ }=\sqrt{32}$

\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}.EF.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {32} .b = 2\sqrt 2 b\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)\).

Ta có: \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.AF.{S_{BDF}} + \frac{1}{3}.CF.{S_{BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.\left( {AF + CF} \right)\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\)

\( = \frac{1}{3}.a.2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \).