Câu hỏi:
12/07/2024 2,040
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AC,BD\) thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)
Phương pháp giải:
- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Sử dụng định lí Pytago tính BF, EF.
- Tính diện tích tam giác BDF.
- Chứng minh \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\).
- Áp dụng BĐT: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).
Giải chi tiết:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Giả sử \(AC = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = b\), theo giả thiết ta có: \({a^2} + {b^2} = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b > 0} \right)\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có:
AC chung
AB = AD (gt)
BC = CD (gt)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BF = DF\) (2 trung tuyến tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta BDF\) cân tại F \( \Rightarrow EF \bot BD\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có:
\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}.EF.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {32} .b = 2\sqrt 2 b\)
Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)\).
Ta có: \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)
\( = \frac{1}{3}.AF.{S_{BDF}} + \frac{1}{3}.CF.{S_{BDF}}\)
\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.\left( {AF + CF} \right)\)
\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\)
\( = \frac{1}{3}.a.2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\).
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Phương pháp giải:
Căn cứ vào biện pháp tu từ.
Giải chi tiết:
- Biện pháp nghệ thuật sử dụng là ẩn dụ chuyển đổi cảm giác.
- Cho thấy niềm vui sướng và hạnh phúc của tác giả khi được chiến đấu dưới ngọn cờ của Đảng
- “Mặt trời chân lí” là hình ảnh ẩn dụ ca ngợi lí tưởng Cách mạng, ca ngợi chủ nghĩa Cộng sản đã soi sáng tâm hồn, đã “chói qua tim”, đem lại ánh sáng cuộc đời như “bừng” lên trong “nắng hạ”.
Lời giải
Phương pháp giải:
Căn cứ vào các thể loại.
Giải chi tiết:
Văn bản trên thuộc thể loại kí (bút kí).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)