Câu hỏi:
12/07/2024 1,544Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án: \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)
Phương pháp giải:
- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Sử dụng định lí Pytago tính BF, EF.
- Tính diện tích tam giác BDF.
- Chứng minh \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\).
- Áp dụng BĐT: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).
Giải chi tiết:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Giả sử \(AC = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = b\), theo giả thiết ta có: \({a^2} + {b^2} = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b > 0} \right)\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có:
AC chung
AB = AD (gt)
BC = CD (gt)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BF = DF\) (2 trung tuyến tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta BDF\) cân tại F \( \Rightarrow EF \bot BD\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có:
\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}.EF.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {32} .b = 2\sqrt 2 b\)
Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)\).
Ta có: \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)
\( = \frac{1}{3}.AF.{S_{BDF}} + \frac{1}{3}.CF.{S_{BDF}}\)
\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.\left( {AF + CF} \right)\)
\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\)
\( = \frac{1}{3}.a.2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\).
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:
Từ ấy trong tôi bừng nắng hạ
Mặt trời chân lý chói qua tim
Hồn tôi là một vườn hoa lá
Rất đậm hương và rộn tiếng chim
(Từ ấy – Tố Hữu, Ngữ văn 11, Tập hai, NXB Giáo dục)
Biện pháp tu từ được sử dụng trong hai câu thơ “Từ ấy trong tôi bừng nắng hạ/ Mặt trời chân lý chói qua tim”
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 7:
về câu hỏi!