Câu hỏi:

12/07/2024 1,505

Cho khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AC,BD\) thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án: \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)

Phương pháp giải:

- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Sử dụng định lí Pytago tính BF, EF.

- Tính diện tích tam giác BDF.

- Chứng minh \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\).

- Áp dụng BĐT: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).

Giải chi tiết:

Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC,BD thỏa mãn (ảnh 1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Giả sử \(AC = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = b\), theo giả thiết ta có: \({a^2} + {b^2} = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b > 0} \right)\).

Xét \(\Delta ABC\)\(\Delta ADC\) có:

AC chung

AB = AD (gt)

BC = CD (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BF = DF\) (2 trung tuyến tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta BDF\) cân tại F \( \Rightarrow EF \bot BD\)  (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: BF=AB2-AF2 =62-(a2)2 =36-a24

EF=BF2-BE2 =36-a24-b24 =36-164 =32

\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}.EF.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {32} .b = 2\sqrt 2 b\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)\).

Ta có: \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.AF.{S_{BDF}} + \frac{1}{3}.CF.{S_{BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.\left( {AF + CF} \right)\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\)

\( = \frac{1}{3}.a.2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn |(1+i)z-5+i|=2 là một đường tròn tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:

Xem đáp án » 24/05/2022 9,970

Câu 2:

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:

Từ ấy trong tôi bừng nắng hạ

Mặt trời chân lý chói qua tim

Hồn tôi là một vườn hoa lá

Rất đậm hương và rộn tiếng chim

(Từ ấy – Tố Hữu, Ngữ văn 11, Tập hai, NXB Giáo dục)

Biện pháp tu từ được sử dụng trong hai câu thơTừ ấy trong tôi bừng nắng hạ/ Mặt trời chân lý chói qua tim

Xem đáp án » 20/05/2022 6,814

Câu 3:

Ở toC khi cho 2 gam MgSO4 vào 200 gam dung dịch MgSO4 bão hòa đã làm cho m gam tinh thể muối MgSO4.nH2O (A) kết tinh. Nung m gam tinh thể A cho đến khi mất nước hoàn toàn thì thu được 3,16 gam MgSO4. Xác định công thức phân tử của tinh thể muối A. Cho biết độ tan của MgSO4 ở toC là 35,1 gam.

Xem đáp án » 20/05/2022 6,109

Câu 4:

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số f(x)=x4-2(m2-3m)x2+3 đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)?\)

Xem đáp án » 24/05/2022 5,690

Câu 5:

Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất 5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 3003 triệu đồng?

Xem đáp án » 20/05/2022 5,545

Câu 6:

Văn bản trên thuộc thể loại gì?

Xem đáp án » 20/05/2022 4,549

Câu 7:

Cho các polime sau: polietilen, poliacrilonitrin, tơ visco, nhựa novolac, xenlulozơ, cao su buna-N, tơ nilon-6,6. Số polime tổng hợp là

Xem đáp án » 20/05/2022 3,410

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

tailieugiaovien.com.vn