Câu hỏi:

12/07/2024 2,209

Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:

Ta có: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (định lí cos)

Mà: cos²A + sin²A = 1

Û sin²A = 1 – cos²A

Þ $\sin A = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} A}$

Do nên sin A > 0 hay

Ta có: $\sin A = \sqrt{1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{{(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{4 b^{2} c^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{4 b^{2} c^{2}}} = \frac{\sqrt{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}}{2 b c}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} b c . \frac{\sqrt{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}}{2 b c}$ .

$= \frac{1}{4} \sqrt{4 b^{2} c^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}$

$= \frac{1}{4} \sqrt{[a^{2} - {(b - c)}^{2}] [{(b + c)}^{2} - a^{2}]} = \frac{1}{4} \sqrt{(a - b + c) (a + b - c) (b + c - a) (b + c + a)}$

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70⁰E với vận tốc 70km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tớiđảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có sơ đồ di chuyển của tàu như sau”

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70 độ E với vận tốc (ảnh 1)

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là vị trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng S70^oE nên = 70^o.

Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam nên BC // AS.

$\Rightarrow \hat{A B C} = 180^{o} - \hat{B A S} = 110^{o}$ .

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70 . 1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8 . 2 = 16 (km) hay a = 16.

a) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

b² = a² + c² − 2ac . cosB

Þ b² = 16² + 105² – 2 . 16 . 105 . cos 110^o ≈ 12 430,18

Þ b ≈ 111,49.

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,49 km.

b) Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là Sα^oE với α = .

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \sin A = \frac{a . \sin B}{b}$

Mà $\hat{B} = 110^{o}$ ; b ≈ 111,49; a = 16.

$\Rightarrow \sin A = \frac{16 . \sin 110 °}{111,49} \approx 0,135 \Rightarrow \hat{A} \approx 8 ° (d o \hat{A} < 90 °) .$

Þ α ≈ 70° – 8° = 62°.

Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62°E.

Câu 2

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19 (ảnh 2)

Bước 1: Áp dụng định lí côsin trong ΔABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB (định lí cos)

= 8² + 6² – 2.8.6.cos105⁰≈ 124,85

⇒ AC ≈ 11,2 km.

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong ΔABC, ta có:

$\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{A C}{\sin \hat{A B C}} \Leftrightarrow \sin \hat{A C B} = \frac{A B . \sin \hat{A B C}}{A C} \approx 0, 69 \Rightarrow \hat{A C B} = 43, 6^{0}$

$\Rightarrow \hat{A C D} = \hat{B C D} - \hat{A C B} = 135^{0} - 43, 6^{0} = 91, 4^{0} .$

Bước 3:

Áp dụng định lí côsin trong ΔACD, ta có:

AD² = AC² + DC² – 2AC.DC.cosACD (định lí cos)

= 11,17² + 12² – 2.11,2.12.cos91,4⁰

⇒ AD ≈ 16,6 km.

Bước 4: Độ dài đường mới giảm so với đường cũ là:

12 + 6 + 8 − 16,6 = 9,4 (km).

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9,4 kilômét so với đường cũ.

Câu 3