Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a) cosAMB^+cosAMC^=0; b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^; c) MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến)....

a) cosAMB^+cosAMC^=0 Ta có: AMB^+AMC^=1800 AMC^=1800−AMB^ cosAMB^=−cos1800−AMB^=−cosAMC^ ⇒cosAMB^+cosAMC^=−cosAMC^+cosAMC^=0 b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có: AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cosAMB^ ⇔ MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos AMB^(1) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có: AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cos AMC^ ⇔ MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos AMC^ (2) c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được: MA2 + MB2 – AB2 + MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MB.cos AMB^ + 2MA.MC.cos AMC^ ⇔2MA2+ BC24– AB2+BC24– AC2= 2MA.BC2.cosAMB^ + 2MA.BC2.cosAMC^ (Vì MB=MC=BC2) 2MA2 = AB2 + AC2 –BC22 – BC22+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos Û 2MA2 = AB2 + AC2 –BC22 + 2MA.MB.(cos AMB^ + cos AMC^ ) Û 2MA2 = AB2 + AC2 – BC22 Û MA2=AB2+AC2−BC222 ⇔MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).

Câu hỏi:

12/07/2024 13,895

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ ;

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương III có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0$

Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{0}$

$\hat{A M C} = 180^{0} - \hat{A M B}$

$c o s \hat{A M B} = - c o s (180^{0} - \hat{A M B}) = - c o s \hat{A M C}$

$\Rightarrow c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = - c o s \hat{A M C} + c o s \hat{A M C} = 0$

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC²

= 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A C^{2} = 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M B} + 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M C}$

(Vì $M B = M C = \frac{B C}{2}$ )

2MA² = AB² + AC² – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ – ^{${(\frac{B C}{2})}^{2}$}+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos

Û 2MA² = AB² + AC² – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ + 2MA.MB.(cos $\hat{A M B}$ + cos $\hat{A M C}$ )

Û 2MA² = AB² + AC² – $\frac{B C^{2}}{2}$

Û $M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - \frac{B C^{2}}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60^{0}, \hat{C} = 45^{0},$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Xem đáp án » 12/07/2024 17,556

Câu 2:

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰;

b) $ N = \sin 60^{0} . c o s 30^{0} + \frac{1}{2} \sin 45^{0} . c o s 45^{0}$ ;

c) P = 1 + tan²60⁰;

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{0}} - \cot 120^{0} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 14,822

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Xem đáp án » 12/07/2024 8,947

Câu 4:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 135^{0}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S = \frac{1}{2} c a .$

B. $S = \frac{- \sqrt{2}}{4} a c .$

C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} b c .$

D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} c a .$

b)

A. $R = \frac{a}{\sin A} .$

B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} b .$

C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} c .$

D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} a .$

c)

A. $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a b$ .

B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B} .$

C. $\sin B = \frac{- \sqrt{2}}{2} .$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135⁰.

Xem đáp án » 12/07/2024 8,329

Câu 5:

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34⁰E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,864

Câu 6:

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S = \frac{a b c}{4 r} .$

B. $r = \frac{2 S}{a + b + c} .$

C. a² = b² + c² + 2bc.cosA.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sinA = sin(B + C).

B. cosA = cos(B + C).

C. cosA > 0.

D. sinA ≤ 0

Xem đáp án » 12/07/2024 5,178

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

7 đề 13,511 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 1: Vectơ

6 đề 11,549 lượt thi Thi thử
Bài tập Ba đường conic có đáp án

2 đề 10,279 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 6: Cung và góc lượng giác - Công thức lượng giác

6 đề 9,971 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình

7 đề 9,857 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai

5 đề 8,791 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

6 đề 7,929 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

5 đề 7,552 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình

5 đề 5,732 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 5: Thống kê

6 đề 5,328 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a) cosAMB^+cosAMC^=0; b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^; c) MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).

Nhà sách VIETJACK:

Cho tam giác ABC có B^=600,C^=450,AC = 10. Tính a, R, S, r.

Tính giá trị các biểu thức sau: a) M = sin450.cos450 + sin300; b) ​N=sin600.cos300+12sin450.cos450; c) P = 1 + tan2600; d) Q=1sin21200−cot1200.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Nếu góc A nhọn thì b2 + c2 > a2; b) Nếu góc A tù thì b2 + c2 < a2; c) Nếu góc A vuông thì b2 + c2 = a2.

Cho tam giác ABC có B^=1350. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) A. S=12ca. B. S=−24ac. C. S=24bc. D. S=24ca. b) A. R=asinA. B. R=22b. C. R=22c. D. R=22a. c) A. a2=b2+c2+2ab. B. bsinA=asinB. C. sinB=−22. D. b2 = c2 + a2 – 2ca.cos1350.

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) A. S=abc4r. B. r=2Sa+b+c. C. a2 = b2 + c2 + 2bc.cosA. D. S = r(a + b + c). b) A. sinA = sin(B + C). B. cosA = cos(B + C). C. cosA > 0. D. sinA ≤ 0

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60^{0}, \hat{C} = 45^{0},$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰;

b) $ N = \sin 60^{0} . c o s 30^{0} + \frac{1}{2} \sin 45^{0} . c o s 45^{0}$ ;

c) P = 1 + tan²60⁰;

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{0}} - \cot 120^{0} .$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S = \frac{a b c}{4 r} .$

B. $r = \frac{2 S}{a + b + c} .$

C. a² = b² + c² + 2bc.cosA.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sinA = sin(B + C).

B. cosA = cos(B + C).

C. cosA > 0.

D. sinA ≤ 0