Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a) cosAMB^+cosAMC^=0; b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB^ và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC^; c) MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến)....

a) cosAMB^+cosAMC^=0 Ta có: AMB^+AMC^=1800 AMC^=1800−AMB^ cosAMB^=−cos1800−AMB^=−cosAMC^ ⇒cosAMB^+cosAMC^=−cosAMC^+cosAMC^=0 b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có: AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cosAMB^ ⇔ MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cos AMB^(1) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có: AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cos AMC^ ⇔ MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos AMC^ (2) c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được: MA2 + MB2 – AB2 + MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MB.cos AMB^ + 2MA.MC.cos AMC^ ⇔2MA2+ BC24– AB2+BC24– AC2= 2MA.BC2.cosAMB^ + 2MA.BC2.cosAMC^ (Vì MB=MC=BC2) 2MA2 = AB2 + AC2 –BC22 – BC22+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos Û 2MA2 = AB2 + AC2 –BC22 + 2MA.MB.(cos AMB^ + cos AMC^ ) Û 2MA2 = AB2 + AC2 – BC22 Û MA2=AB2+AC2−BC222 ⇔MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).

Câu hỏi:

12/07/2024 29,546

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ ;

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương III có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0$

Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{0}$

$\hat{A M C} = 180^{0} - \hat{A M B}$

$c o s \hat{A M B} = - c o s (180^{0} - \hat{A M B}) = - c o s \hat{A M C}$

$\Rightarrow c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = - c o s \hat{A M C} + c o s \hat{A M C} = 0$

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC²

= 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A C^{2} = 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M B} + 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M C}$

(Vì $M B = M C = \frac{B C}{2}$ )

2MA² = AB² + AC² – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ – ^{${(\frac{B C}{2})}^{2}$}+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos

Û 2MA² = AB² + AC² – ${(\frac{B C}{2})}^{2}$ + 2MA.MB.(cos $\hat{A M B}$ + cos $\hat{A M C}$ )

Û 2MA² = AB² + AC² – $\frac{B C^{2}}{2}$

Û $M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - \frac{B C^{2}}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60^{0}, \hat{C} = 45^{0},$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có góc B = 60 độ, góc C = 45 độ, AC = 10. Tính a, R, S, r. (ảnh 1)

Xét ΔABC, có:

Ta có: $\hat{A} = 180^{0} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{0} - 60^{0} - 45^{0} = 75^{0} .$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ (định lí sin)

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{10}{\sin 60^{0}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = \frac{20}{\sqrt{3}} \sin A = \frac{20}{\sqrt{3}} . \sin 75^{0} = 11, 15$

$\Rightarrow 2 R = \frac{b}{\sin B} = \frac{20}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow R = \frac{10}{\sqrt{3}}$ ..

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} . b . a . \sin C = \frac{1}{2} .10.11, 15. \sin 45^{0} \approx 39, 42$ (đvdt)

$\Rightarrow \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = \frac{20}{\sqrt{3}} \Rightarrow c = \frac{20}{\sqrt{3}} \sin C = \frac{20}{\sqrt{3}} . \sin 45^{0} = \frac{10 \sqrt{6}}{3}$

Ta có: $S = p r = \frac{(a + b + c) r}{2} \Rightarrow r = \frac{2 S}{a + b + c} = \frac{2.39, 42}{11, 15 + 10 + \frac{10 \sqrt{6}}{3}} = 2, 69$

Vậy a = 11,15; $R = \frac{10 \sqrt{3}}{3}, c \approx 8, 16,$ r $\approx$ 2,69.

Câu 2

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰;

b) $ N = \sin 60^{0} . c o s 30^{0} + \frac{1}{2} \sin 45^{0} . c o s 45^{0}$ ;

c) P = 1 + tan²60⁰;

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{0}} - \cot 120^{0} .$

Xem đáp án

Lời giải

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰

^{$= \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$}

b) $ N = \sin 60^{0} . c o s 30^{0} + \frac{1}{2} \sin 45^{0} . c o s 45^{0}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

c) P = 1 + tan²60⁰

^{$= 1 + {(\sqrt{3})}^{2} = 1 + 3 = 4$}

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{0}} - \cot 120^{0}$

$= \frac{1}{\sin^{2} 60^{0}} + \cot 60^{0}$

$= \frac{4}{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4 + \sqrt{3}}{3} .$

Câu 3

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34⁰E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 135^{0}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S = \frac{1}{2} c a .$

B. $S = \frac{- \sqrt{2}}{4} a c .$

C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} b c .$

D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4} c a .$

b)

A. $R = \frac{a}{\sin A} .$

B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} b .$

C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} c .$

D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2} a .$

c)

A. $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} a b$ .

B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B} .$

C. $\sin B = \frac{- \sqrt{2}}{2} .$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135⁰.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60^{0}, \hat{C} = 45^{0},$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰;

b) $ N = \sin 60^{0} . c o s 30^{0} + \frac{1}{2} \sin 45^{0} . c o s 45^{0}$ ;

c) P = 1 + tan²60⁰;

d) $Q = \frac{1}{\sin^{2} 120^{0}} - \cot 120^{0} .$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².