Cho đường cong (C):  $y=8x-27x^3$và đường thẳng y=m cắt (C) tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

: Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm $8x-27x^3=m$  .

Giả sử đường thẳng y=m cắt đường cong (C) trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục, tọa độ tại các điểm có hoành độ $0<a<b$  , ta có $\left\{\begin{array}{l}8a-27a^3=m\\ 8b-27b^3=m\end{array}\right.$(1)    và gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số$f\left(x\right)=8x-27x^3-m$ .

Ta có $F\left(x\right)=4x^2-\frac{27x^4}{4}-mx+C$  và quan sát hình vẽ có các diện tích hình phẳng kẻ caro và gạch sọc lần lượt là

$S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(0\right)-F\left(a\right)$

$S_2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Vì   $S_1=S_2\iff F\left(0\right)-F\left(a\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)\iff F\left(b\right)=F\left(0\right)\iff 4b^2-\frac{27b^4}{4}-mb=0\left(2\right)$    

Rút $m=8b-27b^3$  từ (1) thay vào (2), ta có $4b^2-\frac{27b^4}{4}-\left(8b-27b^3\right)b=0\iff 81b^4-16b^2=0\iff b=\frac{4}{9}$  (vì b>0)

Thay ngược lại (1), ta được $m=\frac{32}{27}\approx 1,185$ .