Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={45}^0.$

B. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0$ và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

a) Ta có: $\overrightarrow{BA}\left(4;-4\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right).$

b) Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=4.\left(-3\right)+\left(-4\right).\left(-3\right)=-12+12=0$

$\Rightarrow BA\perp BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{2}.\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$ (đvdt)

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-5}{3}\\ y_G=\frac{1+5+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}\right.\Rightarrow G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right).$

d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành thì $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DA}\left(2-x;1-y\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right)$

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2-x=-3\\ 1-y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow D\left(5;4\right)$.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$  và$\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{2};6\right)$ :

Ta có: $\frac{2}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$suy ra hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$  và $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$  không cùng phương.

 Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{2};6\right)$  và $\overrightarrow{b}=\left(1;3\sqrt{2}\right)$ :

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$  suy ra hai vectơ  $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$và $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$  cùng phương.

Do đó B đúng.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$  và $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$ :

Đây là hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với nhau suy ra hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{i}$  và $\stackrel{\rightharpoonup }{j}$  không cùng phương.

Do đó C sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{c}=\left(1;3\right)$  và $\overrightarrow{d}=\left(2;-6\right)$ :

Ta có: $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-6}$  suy ra hai vectơ  $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$và  $\stackrel{\rightharpoonup }{d}$ không cùng phương.

Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án B.