Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó D sai.

Chọn C.

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ, vecto nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} (1; 1)$

B. $\vec{b} (1; - 1)$

C. $\vec{c} (2; \frac{1}{2})$

D. $\vec{d} (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Xem đáp án

Lời giải

Vì $\vec{a} (1; 1) \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . Do đó A sai.

Vì $\vec{b} (1; - 1) \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . Do đó B sai.

Vì $\vec{c} (2; \frac{1}{2}) \Rightarrow |\vec{c}| = \sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{17}{4}} \neq 1$ . Do đó C sai.

Vì $\vec{d} (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow |\vec{d}| = \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{2}} = 1$ . Do đó D đúng.

Chọn D

Câu 4

Góc giữa vecto $\vec{a} (1; - 1)$ và vecto $\vec{b} (- 2; 0)$ có số đo bằng:

A. 90⁰.

B. 0⁰.

C. 135⁰.

D. 45⁰.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 2) + (- 1) .0 = - 2, |\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}, |\vec{b}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}} = 2.$

$D o đ ó c o s (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 2}{2 \sqrt{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a} . \vec{b}) = 135^{0} .$

Vậy ta chọn phương án C

Câu 5

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) .$

B. ${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} .$

C. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .$

D. $\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c} .$

Xem đáp án

Lời giải

+) Xét phương án A:

$(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = [|\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})] \vec{c}$ ;

$\vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) = \vec{a} [|\vec{b}| . |\vec{c}| . c o s (\vec{b}, \vec{c})]$ .

Suy ra $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} \neq \vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) .$ Do đó A sai.

+) Xét phương án B:

${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} = {[|\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})]}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} . {|\vec{b}|}^{2} . c o s^{2} (\vec{a}, \vec{b})$

${\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} . {|\vec{b}|}^{2} .$

Suy ra ${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$ chỉ đúng khi $c o s^{2} (\vec{a}, \vec{b}) = 1$ . Do đó B sai.

+) Xét phương án C:

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \neq |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .$

Do đó C sai.

+)Xét phương án D:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

$\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ).

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 6