Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \[A(4;1;3),B(2;1;5),\,C(4;3; - 3)\] không thẳng hàng. Mặt phẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với AB có phương trình là

Phương pháp giải: - Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

- Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\I \in (ABC)\end{array} \right.\] tìm tâm I.

- Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng đi qua điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\;\]và nhận $\overrightarrow{n}\mathrm{ }=(A,B,C)$làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \[A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\].

Giải chi tiết:

Ta có:$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\mathrm{ }=(-2;0;2)\\ \overrightarrow{AC}\mathrm{ }=(0;2;-6)\end{array}\Rightarrow [\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=(-4;-12;-4)$

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) nhận $\overrightarrow{n}\mathrm{ }=(1;3;1)$là 1 VTPT.

⇒ Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là: \(1\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 10 = 0\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\I \in (ABC)\end{array} \right.\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2}\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2}\\x + 3y + z - 10 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4z = 4\\4y - 12z = 8\\x + 3y + z - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 6}}{{11}}\\y = \frac{{37}}{{11}}\\z = \frac{5}{{11}}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với AB là:

\[ - 2\left( {x + \frac{6}{{11}}} \right) + 2\left( {z - \frac{5}{{11}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow x - z + 1 = 0\]

Chọn C.