Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0;1], thỏa mãn ∫01f3x+4f'x3dx≤3∫01f'x.f2xdx. và f0=1 Tính I=∫01fxdx. A. I=2e−1. B. I=2e2−1. C. I=e−12. D. I=e2−12.

Đáp án A Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có f3x=4+f3x2+f3x2≥34[f'x]3.f3x2.f3x23=3f'x.f2x Suy ra ∫01f3x+4[f'x]3dx≥3∫01f'x.f2xdx . Mà ∫01f3x+4[f'x]3dx≤3∫01f'x.f2xdx nên dấu “=” xảy ra, tức là 4=f3x2=f3x2⇔f'x=12fxf'xfx=12⇒∫f'xfxdx=12∫dx⇒lnfx=12x+C⇒fx=e12x+C Theo giả thiết f0=1⇒C=0⇒fx=e12x⇒∫01fxdx=2e−1

Câu hỏi:

23/05/2022 279

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0;1], thỏa mãn $\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}] d x \leq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x .$ và $f (0) = 1$ Tính $I = \int_{0}^{1} f (x) d x .$

I = 2 (\sqrt{e} - 1) .

I = 2 (e^{2} - 1) .

I = \frac{\sqrt{e} - 1}{2} .

I = \frac{e^{2} - 1}{2} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có

$\begin{array}{l} f^{3} (x) = 4 + \frac{f^{3} (x)}{2} + \frac{f^{3} (x)}{2} \geq 3 \sqrt[3]{4 {[f' (x)]}^{3} . \frac{f^{3} (x)}{2} . \frac{f^{3} (x)}{2}} \\ = 3 f' (x) . f^{2} (x) \end{array}$

Suy ra $\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}] d x \geq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x$ .

Mà $\int_{0}^{1} \{f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}\} d x \leq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x$ nên dấu “=” xảy ra, tức là

$\begin{array}{l} 4 = \frac{f^{3} (x)}{2} = \frac{f^{3} (x)}{2} \Leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{2} f (x) \\ \frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \frac{1}{2} \int d x \Rightarrow \ln |f (x)| = \frac{1}{2} x + C \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x + C} \end{array}$

Theo giả thiết $f (0) = 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 2 (\sqrt{e} - 1)$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (2; - 3; 3), \vec{b} = (0; 2; - 1), \vec{c} = (3; - 1; 5) .$ Tìm tọa độ của véctơ $\vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$

(10; - 2; 13) .

(- 2; 2; - 7) .

(- 2; - 2; 7) .

(- 2; 2; 7) .

Lời giải

Đáp án B

Ta có:

\{\begin{cases} 2 \vec{a} = (4; - 6; 6) \\ 3 \vec{b} = (0; 6; - 3) \\ - 2 \vec{c} = (- 6; 2; - 10) \end{cases} \Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c} = (- 2; 2; - 7)

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông với đáy, góc $\hat{S B D} = 60^{o}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.

d = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

d = \frac{a \sqrt{6}}{4} .

d = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

d = \frac{a \sqrt{5}}{5} .

Lời giải

Đáp án D

Ta có $Δ S A B = Δ S A D (c - g - c)$ , suy ra $S B = S D$

Lại có $\hat{S B D} = 60^{o}$ , suy ra $Δ S B D$ đều cạnh $S B = S D = B D = a \sqrt{2}$

Tam giác vuông SAB, có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a$

Gọi E là trung điểm AD, suy ra $O E / / A B$ và $A E ⊥ O E$

Do đó $d (A B, S O) = d (A B, (S O E)) = d (A, (S O E))$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông với đáy, góc SBD=60 độ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO. (ảnh 1)

Kẻ $A K ⊥ S E$

Khi đó $d (A, (S O E)) = A K = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{5}}{5} .$

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; - 2; 1), B (- 1; 3; 3), C (2; - 4; 2) .$ Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

\vec{n_{1}} = (- 1; 9; 4) .

\vec{n_{4}} = (9; 4; - 1) .

\vec{n_{3}} = (4; 9; - 1) .

\vec{n_{2}} = (9; 4; 11) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2} - 3 x} < 16$ là

(- \infty; - 1) .

(4; + \infty) .

(- 1; 4) .

(- \infty; - 1) \cup (4; + \infty) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên , thỏa mãn $3 x . f (x) - x^{2} . f' (x) = 2 f^{2} (x), f (x) \neq 0$ với $x \in (0; + \infty)$ và $f (1) = \frac{1}{2} .$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [1;2] . Tính M + m.

\frac{6}{5} .

\frac{7}{5} .

\frac{21}{10} .

\frac{9}{10} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{3} - m x^{2} - 9 x + 9 m|$ trên đoạn $[- 2; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 6.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2}; y = \frac{x^{2}}{27}; y = \frac{27}{x} .$

\frac{728}{3} - 27 \ln 3.

27 \ln 3.

27 \ln 3 - \frac{52}{3} .

\frac{676}{3} - 27 \ln 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử