Cho hai số thực \[a,b > 1\] sao cho tồn tại số thực \[x\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\] thỏa mãn \[{a^{{{\log }_b}}}x = {b^{{{\log }_a}{x^2}}}\]. Khi biểu thức \[P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln \left( {ab} \right)\] đạt giá trị nhỏ nhất thì \[a + b\] thuộc khoảng nào dưới đây?

Với a là số thực dương tùy ý, \[{\log _2}\left( {8a} \right)\] bằng

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 4x + \sin x\] là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y + 6z - 5 = 0\] và điểm \[A\left( {2; - 3;1} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\] đi qua A và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\]

Biết hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\] đạt cực đại tại điểm \[x =  - 3,f\left( { - 3} \right) = 28\] và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Tính \[S = {a^2} + {b^2} - {c^2}\]

Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+\left(4m-5\right)x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau:

Xác định số nghiệm của phương trình \[\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \frac{3}{2}\], biết \[f\left( { - 4} \right) = 0\]

Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh \[AB = 6,AA' = 8\]. Tính thể tích của khối trụ có hai đáy là hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác ABC và \[A'B'C'\]