Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0,\left( Q \right):x - 2y + z + 8 = 0,\left( R \right):x - 2y + z - 4 = 0\]. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\] lần lượt tại \[A,B,C\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[T = A{B^2} + \frac{{144}}{{A{C^2}}}\]

Với a là số thực dương tùy ý, \[{\log _2}\left( {8a} \right)\] bằng

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 4x + \sin x\] là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y + 6z - 5 = 0\] và điểm \[A\left( {2; - 3;1} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\] đi qua A và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\]

Biết hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\] đạt cực đại tại điểm \[x =  - 3,f\left( { - 3} \right) = 28\] và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Tính \[S = {a^2} + {b^2} - {c^2}\]

Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+\left(4m-5\right)x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh \[AC = 2a\sqrt 2 \]. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AB. Thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{2{a^3}}}{3}\]. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau:

Xác định số nghiệm của phương trình \[\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \frac{3}{2}\], biết \[f\left( { - 4} \right) = 0\]