Cho phương trình $\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{(x-2)}+4m-4=0$ (với m là tham số). Gọi $S=\left[a;b\right]$ là tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[\frac{5}{2};4\right]$. Tính $a+b$.

Đáp án B.

Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì phương trình tương đương với:

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m-1=0$            (1)

Đặt ${\log }_2(x-2)=t$. Với $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$ thì $t\in \left[-1;1\right]$. Phương trình (1) trở thành:

$(m-1)t^2+(m-5)t+m-1=0\iff m(t^2+t+1)=t^2+5t+1\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}$ (2)

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ .

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=\frac{-4(t^2-1)}{t^2+t+1}\ge 0, \forall t\in \left[-1;1\right]; f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$. Khi đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left[-1;1\right]$. Suy ra $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(t\right)=f(-1)=-3;$ $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(1\right)=\frac{7}{3}$.

Phương trình (2) có nghiệm $\iff$ Đường thẳng $y-m$ cắt đồ thị hàm số $f\left(t\right)$ $\iff -3\le m\le \frac{7}{3}$. Vậy $S=\left[-3;\frac{7}{3}\right]\to a=-3, b=\frac{7}{3}\to a+b=-3+\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}$.