Câu hỏi:

23/05/2022 3,741

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng $24 c m^{3} .$ Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN.

A. $9 c m^{3} .$

B. $8 c m^{3} .$

C. $6 c m^{3} .$

D. $7 c m^{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng (ảnh 1)

Mặt đáy ABCD là hình bình hành $\Rightarrow Δ A D C$ và $Δ A B C$ có cùng diện tích

$\Rightarrow V_{S . A D C} = V_{S . A B C}$ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).

Mà $V_{S . A B C D} = V_{S . A D C} + V_{S . A B C} = 24 c m^{3} \Rightarrow V_{S . A D C} = V_{S . A B C} = \frac{V_{S . A B C D}}{2} = \frac{24}{2} = 12 (c m^{3}) .$

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và $A E \Rightarrow I$ là trọng tâm của $Δ S A C$ và I thuộc MN. Gọi $\frac{S M}{S B} = a$ và $\frac{S N}{S D} = b (a > 0; b > 0) .$

Ta có: $\frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A D C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = 1. b . \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S . A M E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S M}{S B} . \frac{S E}{S C} = 1. a . \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow \frac{V_{S . A N E}}{12} = \frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S . A M E}}{12} = \frac{a}{2} \Rightarrow V_{S . A N E} = 6 b (c m^{3})$ và $V_{S . A M E} = 6 a (c m^{3}) .$

Do đó: $V_{S . A M E N} = V_{S . A M E} + V_{S . A N E} = 6 a + 6 b = 6 (a + b) (c m^{3}) .$

Mặt khác: $Δ I S M$ và $Δ I S B$ có chung chiều cao kẻ từ I và có đáy $\frac{S M}{S B} = a \Rightarrow a = \frac{S_{I S M}}{S_{I S B}} .$

Mà I là trọng tâm của $Δ S A C \Rightarrow \frac{S I}{S O} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S_{I S B}}{S_{S O B}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S_{I S M}}{S_{S O B}} = \frac{2 a}{3} .$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{S_{I S N}}{S_{S O D}} = \frac{2 b}{3} .$

O là trung điểm của $D B \Rightarrow S_{S O B} = S_{S O D} = \frac{S_{S D B}}{2}$ hay $S_{S D B} = 2 S_{S O B} = 2 S_{S O D}$

$\Rightarrow \frac{2 a}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{S_{I S M}}{S_{S O B}} + \frac{S_{I S N}}{S_{S O D}} = \frac{2 S_{I S M}}{2 S_{S O B}} + \frac{2 S_{I S N}}{2 S_{S O D}} = \frac{2 (S_{I S M} + S_{I S N})}{S_{S D B}} = \frac{2 S_{S N M}}{S_{S D B}}$

$\Rightarrow a + b = \frac{3 S_{S N M}}{S_{S D B}} = \frac{3 S N . S M . \sin \hat{M S N}}{S D . S B . \sin \hat{B S D}} = 3. \frac{S N}{S D} . \frac{S M}{S B} = 3 a b .$

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow a + b = 3 a b \leq \frac{3 {(a + b)}^{2}}{4}$

$\Rightarrow 3 (a + b) \geq 4$ (do $a + b > 0) \Rightarrow a + b \geq \frac{4}{3} \Rightarrow 6 (a + b) \geq 8$ hay $V_{S . A M E N} \geq 8 (c m^{3}) .$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow M N$ đi qua I và MN//BD.

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN là $8 c m^{3} .$

Chọn A.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{m x + 2}{2 x + m}, m$ là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S.

A. 3

B. 5

C. 1

D. 2

Lời giải

TXĐ $D = ℝ \ \{\frac{- m}{2}\}; y' = \frac{m^{2} - 4}{{(2 x + m)}^{2}} .$

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) khi

$\{\begin{cases} \frac{- m}{2} \notin (0; 1) \\ m^{2} - 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} \frac{- m}{2} \leq 0 \\ \frac{- m}{2} \geq 1 \end{array} \\ - 2 < m < 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 2 \end{array} \\ - 2 < m < 2 \end{cases} .$ Vậy có 2 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 \end{cases}, (t \in ℝ)$ . Tọa độ một vectơ chỉ phương của d là

A. (2; 3; 0)

B. (-2; 3; 3)

C. (1; 2; 3)

D. (-2; 3; 0)

Lời giải

Tọa độ một vectơ chỉ phương của d là (-2; 3; 0)

Chọn D.

Câu 3

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 1$ trên đoạn [-2; 1]

A. 4

B. 3

C. 6

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tổng bình phương các giá trị của tham số m để đường thẳng $d : y = - x - m$ cắt đồ thị $(C) : y = \frac{x - 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B với $A B = \sqrt{10}$ là

A. 5

B. 10

C. 13

D. 17

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số $F (x) = \ln |x| ?$

A. f(x) = x

B. $f (x) = \frac{1}{x} .$

C. $f (x) = \frac{x^{3}}{2} .$

D. f(x) = |x|

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Biết $\int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = a \ln 5 + b \ln 3 + c,$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a + b + c là

A. T = 11

B. T = 10

C. T = 9

D. T = 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng $24 c m^{3} .$ Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN.

Cho hàm số $y = \frac{m x + 2}{2 x + m}, m$ là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 \end{cases}, (t \in ℝ)$ . Tọa độ một vectơ chỉ phương của d là

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 1$ trên đoạn [-2; 1]

Tổng bình phương các giá trị của tham số m để đường thẳng $d : y = - x - m$ cắt đồ thị $(C) : y = \frac{x - 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B với $A B = \sqrt{10}$ là

Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số $F (x) = \ln |x| ?$

Biết $\int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = a \ln 5 + b \ln 3 + c,$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a + b + c là