Tổng bình phương các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:y=-x-m$ cắt đồ thị $\left(C\right):y=\frac{x-2}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt A, B với $AB=\sqrt{10}$ là 

Xét phương trình $\frac{x-2}{x-1}=-x-m\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x-2=-x^2-mx+x+m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x^2+mx-m-2=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình $x^2+mx-m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-4\left(-m-2\right)>0\\ 1+m-m-2\ne 0\end{array}\right.$ (đúng với $\forall m$).

Với mọi m đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt $A\left(a;-a-m\right),B\left(b;-b-m\right)$ với a, b là nghiệm của phương trình (*). Ta có $\left\{\begin{array}{l}a+b=-m\\ a.b=-m-2\end{array}\right..$

$\overrightarrow{AB}=\left(b-a;a-b\right)\Rightarrow AB=\sqrt{2\left[{\left(a+b\right)}^2-4ab\right]}=\sqrt{2\left(m^2+4m+8\right)}$.

Ta có phương trình $\sqrt{2\left(m^2+4m+8\right)}=\sqrt{10}\iff m^2+4m+3=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-3\end{array}\right..$

$S={\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2=10.$

Lời bình: Có thể sử dụng công thức giải nhanh ${\left(x_1-x_2\right)}^2=\frac{\Delta }{a^2}.$

Chọn B.