Cho đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ, biết $f"\left(3\right)=\frac{2}{3}.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=3f\left(3-2x\right)-m{x}^2+\left(6m-12\right)x$ có đúng bốn điểm cực trị?

Chọn D.

Xét hàm số $g\left(x\right)=3f\left(3-2x\right)-m{x}^2+\left(6m-12\right)x.$

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=-6f\text{'}\left(3-2x\right)-2mx+6m-12=-6\left[f\text{'}\left(3-2x\right)+\frac{m}{3}x-m+2\right].$

    $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(3-2x\right)+\frac{m}{3}x-m+2=0\left(*\right)$

Đặt $t=3-2x\Rightarrow x=\frac{3-t}{2},$ suy ra (*) có dạng:

     $f\text{'}\left(t\right)+\frac{m\left(3-t\right)}{6}-m+2=0\iff f\text{'}\left(t\right)=\frac{m}{6}t+\frac{m}{2}-2.$

Số nghiệm bội lẻ của phương trình g'(x) = 0 bằng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $f\text{'}\left(t\right)=\frac{m}{6}t+\frac{m}{2}-2,$ tương đương với số giao điểm không tiếp xúc của hai đồ thị y = f'(t) và đường thẳng $y=\frac{m}{6}t+\frac{m}{2}-2=\frac{m}{2}\left(\frac{t}{3}+1\right)-2.\left(d\right)$

Đường thẳng d luôn đi qua A(-3; -2)

Gọi $d_1$ là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (3; 2) như hình vẽ.

Suy ra: $d_1:y=\frac{2}{3}t$ khi đó giá trị tham số $m=m_1$ thỏa mãn $\frac{m_1}{6}=\frac{2}{3}\iff m_1=4.$

Gọi $d_2$ là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (1; -2) như hình vẽ.

Suy ra: $d_2:y=-2$ khi đó giá trị tham số $m=m_2$ thỏa mãn $-2=\frac{m_2.1}{6}+\frac{m_2}{2}-2\iff m_2=0.$

Để hàm số g(x) có bốn điểm cực trị thì phương trình $f\text{'}\left(t\right)=\frac{m}{6}t+\frac{m}{2}-2$ có bốn nghiệm bội lẻ, tương đương với đồ thị y = f'(t) và đường thẳng d có bốn giao điểm xuyên qua.

Do đó $m_2=0<m<m_1=4\Rightarrow m\in \left\{1;2;3\right\}.$