Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và f2x−xfx2=5x−2x3−1 với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫12xf'xdx. A. I = 3 B. I = -1 C. I = 2 D. I = 5

Xét I=∫12xf'xdx. Đặt ft+m=1⇔ft+m=1ft+m=−1⇔ft=1−m 1ft=−1−m 2. ta có I=xfx21−∫12fxdx=2f2−f1−∫12fxdx =2f2−1−∫12fxdx Ta có: f2x−xfx2=5x−2x3−1.f2x−xfx2=5x−2x3−1. Thay x=1⇒f2−f1=2⇒f2=3. ⇒I=5−∫12fxdx. Ta có: f2x−xfx2=5x−2x3−1 ⇔2f2x−2xfx2=10x−4x3−2 Lấy tích phân 2 vế ta có: 2∫01f2xdx−∫012xfx2dx=∫0110x−4x3−2dx=2 ⇔∫01f2xd2x−∫01fx2dx2=2 ⇔∫02ftdt−∫01fudu=2 ⇔∫02fxdx−∫01fxdx=2 ⇔∫12fxdx=2 Vậy I=5−2=3. Chọn A.

Câu hỏi:

31/05/2022 1,579

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn f(1) = 1 và $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$

A. I = 3

Đáp án chính xác

B. I = -1

C. I = 2

D. I = 5

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$ Đặt $|f (t) + m| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) + m = 1 \\ f (t) + m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) = 1 - m (1) \\ f (t) = - 1 - m (2) \end{array} .$ ta có

$I = x f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} - \int_{1}^{2} f (x) d x = 2 f (2) - f (1) - \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= 2 f (2) - 1 - \int_{1}^{2} f (x) d x$

Ta có: $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1. f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1.$ Thay $x = 1 \Rightarrow f (2) - f (1) = 2 \Rightarrow f (2) = 3.$

$\Rightarrow I = 5 - \int_{1}^{2} f (x) d x .$

Ta có:

$f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$

$\Leftrightarrow 2 f (2 x) - 2 x f (x^{2}) = 10 x - 4 x^{3} - 2$

Lấy tích phân 2 vế ta có:

$2 \int_{0}^{1} f (2 x) d x - \int_{0}^{1} 2 x f (x^{2}) d x = \int_{0}^{1} (10 x - 4 x^{3} - 2) d x = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (2 x) d (2 x) - \int_{0}^{1} f (x^{2}) d (x^{2}) = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (t) d t - \int_{0}^{1} f (u) d u = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 2$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 2$

Vậy $I = 5 - 2 = 3.$

Chọn A.

Bình luận

Câu 1:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

A. 2

B. 1

C.

\frac{3}{2}

D. 0

Xem đáp án » 30/05/2022 24,386

Câu 2:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 4 + 3 i| = 1$ và $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5b + c = 4

B. 5b + c = -12

C. 5b + 6c = 12

D. 5b + c = -4

Xem đáp án » 31/05/2022 24,036

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

A. $(- \infty; 6)$

B. (2; 6)

C. [2; 6)

D. $(6; + \infty)$

Xem đáp án » 29/05/2022 12,894

Câu 4:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là:

A. $ℝ$

B. $ℝ \ \{1\}$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án » 29/05/2022 12,256

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (1; 3; - 2) .$ Phương trình của (Q) là:

A. $x + 3 y - 2 z + 3 = 0$

B. $2 x - y + 1 = 0$

C. $x + 3 y - 2 z + 1 = 0$

D. $2 x - y - 1 = 0$

Xem đáp án » 30/05/2022 7,158

Câu 6:

Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án » 30/05/2022 7,027

Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-2; -1)

B. (1; 2)

C. (0; 1)

D. (-1; 0)

Xem đáp án » 31/05/2022 6,967

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn f(1) = 1 và $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 4 + 3 i| = 1$ và $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (1; 3; - 2) .$ Phương trình của (Q) là:

Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và f2x−xfx2=5x−2x3−1 với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫12xf'xdx.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho cấp số nhân un có u2=3,u3=6. Số hạng đầu u1 là:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình z2+bz+c=0 có hai nghiệm phức z1,z2 thỏa mãn z1−4+3i=1 và z2−8−6i=4. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình log2x−2<2 là:

Tập xác định của hàm số y=1−x−2 là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến n→1;3;−2. Phương trình của (Q) là:

Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số gx=f2x+2x2+2x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn f(1) = 1 và $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 4 + 3 i| = 1$ và $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (1; 3; - 2) .$ Phương trình của (Q) là:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?