Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d:x−2−3=y2=z−4−2 và Δ:x−13=y−21=z+12. Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa ∆ thì mặt phẳng P:ax+by+cz+25=0 tạo với d góc lớn nhất. Tính T = a + b + c....

Gọi M là điểm bất kì thuộc Δ. Gọi d' là đường thẳng qua M và song song với d. Khi đó ta có ∠d;P=∠d';P. Lấy S∈d' bất kì, kẻ SH⊥Δ,SK⊥P. ⇒KM là hình chiếu vuông góc của SM lên (P) ⇒∠d;P=∠d';P=SM;KM=∠SMK=α. Xét tam giác vuông SMK ta có sinα=SKSM. Để α nhỏ nhất thì sin α nhỏ nhất ⇒SKSM nhỏ nhất. Ta có SM≥SH⇒SKSM≥SHSM⇒sinα≥SHSM. Ta có S,P,Δ cố định ⇒SH, SK không đổi. ⇒sinαmin=SHSM⇔H≡M. Khi đó (P) chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng d';Δ. Lấy M1;2;−1∈Δ, phương trình đường thẳng d' là d':x−1−3=y−22=z+1−2. Gọi (R) là mặt phẳng chứa d';Δ⇒nR→=ud→,uΔ→=6;0;−9=32;0;−3. Ta có Δ⊂P'R⊥P⇒nP→⊥uΔ→nP→⊥nR→⇒nP→=uΔ→,nR→=−3;13;−2. ⇒ Phương trình mặt phẳng P:−3x−1+13y−2−2z+1=0⇔3x−13y+2z+25=0 ⇒a=3,b=−13,c=2. Vậy T=a+b+c=3−13+2=−8. Chọn C.

Câu hỏi:

31/05/2022 3,701

Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{- 2}$ và $Δ : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2} .$ Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa $∆$ thì mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + 25 = 0$ tạo với d góc lớn nhất. Tính T = a + b + c.

A. T = 9

B. T = 5

C. T = -8

D. T = -7

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d (ảnh 1)

Gọi M là điểm bất kì thuộc $Δ .$

Gọi d' là đường thẳng qua M và song song với d. Khi đó ta có $∠ (d; (P)) = ∠ (d'; (P)) .$

Lấy $S \in d'$ bất kì, kẻ $S H ⊥ Δ, S K ⊥ (P) .$

$\Rightarrow K M$ là hình chiếu vuông góc của SM lên (P)

$\Rightarrow ∠ (d; (P)) = ∠ (d'; (P)) = (S M; K M) = ∠ S M K = α .$

Xét tam giác vuông SMK ta có $\sin α = \frac{S K}{S M} .$

Để $α$ nhỏ nhất thì $\sin α$ nhỏ nhất $\Rightarrow \frac{S K}{S M}$ nhỏ nhất.

Ta có $S M \geq S H \Rightarrow \frac{S K}{S M} \geq \frac{S H}{S M} \Rightarrow \sin α \geq \frac{S H}{S M} .$

Ta có $S, (P), Δ$ cố định $\Rightarrow S H, S K$ không đổi.

$\Rightarrow {(\sin α)}_{\min} = \frac{S H}{S M} \Leftrightarrow H \equiv M .$

Khi đó (P) chứa $Δ$ và vuông góc với mặt phẳng $(d'; Δ) .$

Lấy $M (1; 2; - 1) \in Δ$ , phương trình đường thẳng d' là $d' : \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2} .$

Gọi (R) là mặt phẳng chứa $d'; Δ \Rightarrow \vec{n_{R}} = [\vec{u_{d}}, \vec{u_{Δ}}] = (6; 0; - 9) = 3 (2; 0; - 3) .$

Ta có $\{\begin{cases} Δ \subset (P)' \\ (R) ⊥ (P) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{P}} ⊥ \vec{u_{Δ}} \\ \vec{n_{P}} ⊥ \vec{n_{R}} \end{cases} \Rightarrow \vec{n_{P}} = [\vec{u_{Δ}}, \vec{n_{R}}] = (- 3; 13; - 2) .$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(P) : - 3 (x - 1) + 13 (y - 2) - 2 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 13 y + 2 z + 25 = 0$

$\Rightarrow a = 3, b = - 13, c = 2.$

Vậy $T = a + b + c = 3 - 13 + 2 = - 8.$

Chọn C.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

A. 2

B. 1

\frac{3}{2}

D. 0

Lời giải

Ta có $u_{1} . u_{3} = u_{2}^{2} \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{2}^{2}}{u_{3}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Chọn C.

Câu 2

Cho các số thực b, c sao cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 4 + 3 i| = 1$ và $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5b + c = 4

B. 5b + c = -12

C. 5b + 6c = 12

D. 5b + c = -4

Lời giải

Vì $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ nên $z_{2} = \bar{z_{1}} .$

Khi đó ta có $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4 \Leftrightarrow |\bar{z_{1}} - 8 - 6 i| = 4 \Leftrightarrow |z_{1} - 8 + 6 i| = 4.$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức $z_{1}$

$\Rightarrow M$ vừa thuộc đường tròn $(C_{1})$ tâm $I_{1} (4; - 3),$ bán kính $R_{1} = 1$ và đường tròn $(C_{2})$ tâm $I_{2} (8; - 6),$ bán kính $R_{2} = 4.$

$\Rightarrow m \in (C_{1}) \cap (C_{2}) .$

Cho các số thực b, c sao cho phương trình z^2 + bz + c = 0 có hai nghiệm (ảnh 1)

Ta có $I_{1} I_{2} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 = R_{1} + R_{2} \Rightarrow (C_{1})$ và $(C_{2})$ tiếp xúc ngoài.

Do đó có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 24 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 16 x + 12 y + 84 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{24}{5} \\ y = - \frac{18}{5} \end{cases} \Rightarrow M (\frac{24}{5}; - \frac{18}{5}) \Rightarrow z_{1} = \frac{24}{5} - \frac{18}{5} i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$

$\Rightarrow z_{2} = \frac{24}{5} + \frac{18}{5} i$ cũng là nghiệm của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$

Áp dụng đinh lí Vi-ét ta có $z_{1} + z_{2} = - b = \frac{48}{5} \Rightarrow b = - \frac{48}{5}, z_{1} z_{2} = c = 36.$

Vậy $5 b + c = - 48 + 36 = - 12.$

Chọn B.

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

A. $(- \infty; 6)$

B. (2; 6)

C. [2; 6)

D. $(6; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là:

A. $ℝ$

B. $ℝ \ \{1\}$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1; 1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = a x^{3} + b x .$ Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

A. -2

B. 2

C. -3

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-2; -1)

B. (1; 2)

C. (0; 1)

D. (-1; 0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 4 + 3 i| = 1$ và $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?