Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng $d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{2}=\frac{z-4}{-2}$ và $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}.$ Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa $∆$ thì mặt phẳng $\left(P\right):ax+by+cz+25=0$ tạo với d góc lớn nhất. Tính T = a + b + c. 

Gọi M là điểm bất kì thuộc $\Delta .$

Gọi d' là đường thẳng qua M và song song với d. Khi đó ta có $\angle \left(d;\left(P\right)\right)=\angle \left(d\text{'};\left(P\right)\right).$

Lấy $S\in d\text{'}$ bất kì, kẻ $SH\perp \Delta ,SK\perp \left(P\right).$

$\Rightarrow KM$ là hình chiếu vuông góc của SM lên (P)

$\Rightarrow \angle \left(d;\left(P\right)\right)=\angle \left(d\text{'};\left(P\right)\right)=\left(SM;KM\right)=\angle SMK=\alpha .$

Xét tam giác vuông SMK ta có $\sin \alpha =\frac{SK}{SM}.$

Để $\alpha$ nhỏ nhất thì $\sin \alpha$ nhỏ nhất $\Rightarrow \frac{SK}{SM}$ nhỏ nhất.

Ta có $SM\ge SH\Rightarrow \frac{SK}{SM}\ge \frac{SH}{SM}\Rightarrow \sin \alpha \ge \frac{SH}{SM}.$

Ta có $S,\left(P\right),\Delta$ cố định $\Rightarrow SH, SK$ không đổi.

$\Rightarrow {\left(\sin \alpha \right)}_{\min }=\frac{SH}{SM}\iff H\equiv M.$

Khi đó (P) chứa $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(d\text{'};\Delta \right).$

Lấy $M\left(1;2;-1\right)\in \Delta$, phương trình đường thẳng d' là $d\text{'}:\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-2}.$

Gọi (R) là mặt phẳng chứa $d\text{'};\Delta \Rightarrow \overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{u_{\Delta }}\right]=\left(6;0;-9\right)=3\left(2;0;-3\right).$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\text{'}\\ \left(R\right)\perp \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{u_{\Delta }}\\ \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_R}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{u_{\Delta }},\overrightarrow{n_R}\right]=\left(-3;13;-2\right).$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):-3\left(x-1\right)+13\left(y-2\right)-2\left(z+1\right)=0\iff 3x-13y+2z+25=0$

$\Rightarrow a=3,b=-13,c=2.$

Vậy $T=a+b+c=3-13+2=-8.$

Chọn C.