Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Xét hàm số y = 2x² + x + m có a = 2, b = 1 và c = m.

Điểm đỉnh S có tọa độ x_S = $-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2.2}=-\frac{1}{4}$, y_S = $2.{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+\left(-\frac{1}{4}\right)+m=m-\frac{1}{8}$.

Hàm số có a = 2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là m – $\frac{1}{8}$.

Mà giá trị nhỏ nhất bằng 5 nên m – $\frac{1}{8}$ = 5 ⇔ m = $\frac{41}{8}$.

Vậy với m = $\frac{41}{8}$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.

Ta có:

f(0) = a.0² + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.

f(1) = a.1² + b.1 + c = 2 ⇔ a + b + c = 2.

f(2) = a.2² + b.2 + c = 5 ⇔  4a + 2b + c = 5.

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=2\\ 4a+2b+c=5\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b=1\\ 4a+2b=4\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b=1\\ 2a+b=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a=1\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.

b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x² + 1.

Xét hàm số bậc hai: y = x² + 1, có:

Đỉnh S có tọa độ x_s = $\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2.1}=0$, y_s = 0² + 1 = 1. Hay S(0; 1).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau: