Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thoả mãn f(0) = 3; f(2) = 12 và ${\int }_0^2\frac{(f\text{'}{\left(x\right))}^2}{f\left(x\right)}dx = 6$ Tính  f(1)

Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2x; $y = \frac{1-x}{x}$; y = 0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}$; $x = \frac{1}{2}$; $x=2$ và trục hoành. Đường thẳng $x=k \left(\frac{1}{2}<k<2\right)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là S₁ và S₂ như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_1 = 3S_2$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y^2 = 2x$, cung tròn có phương trình $y= \sqrt{8-x^2}$ $( 0<x<2\sqrt{2 } )$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4 bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x  có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{x.e^x}$

Cho $I\left(m\right) = {\int }_0^m\frac{1}{x^2+3x+2}dx$ Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để $e^{I\left(m\right)}< \frac{99}{50}$

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a và x =b (a<b) được tính theo công thức nào dưới đây ?

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx + 1 là