Cho hình chóp $S.ABC$  có đường cao  tam giác  là tam giác cân tại A có $AB=a,BAC=120°.$  Biết thể tích khối chóp S.ABC  bằng $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4},$  góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Đáp án D

Xác định góc giữa các mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện các bước sau:

+ Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Trong mặt phẳng (P) xác định đường thẳng $a\perp d$ , trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng $b\perp d$ .

+ Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Gọi M là trung điểm BC (do $\Delta ABC$  cân tại  A).

Lại có $\Delta SAB=\Delta SAC(c.g.c)\Rightarrow SB=SC$  hay $\Delta SBC$  cân tại S.

$\Rightarrow SM\perp BC$

Ta có   $\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ AM\perp BC;AM\subset \left(ABC\right)\\ SM\perp BC;SM\subset \left(SBC\right)\end{array}$

$\Rightarrow \stackrel{⌢}{\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)}=\left(\widehat{SM,AM}\right)=\widehat{SMA}$.

Theo đề bài $V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{24}\Rightarrow \frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\iff SA=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}:\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a}{2}$ .

Lại thấy $\Delta ABM$  vuông tại M có $AB=a;\widehat{ABM}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=30°$

Xét tam giác $SA=AM=\frac{a}{2}$  vuông tại  có $AB=a;\widehat{ABM}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=30°$  nên $\Delta SAM$  vuông cân tại  hay $\widehat{SMA}=45°$

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là $45°$ .