Trong không gian , cho các điểm A(1;4;5); B(0;3;1), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0 . Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc (P) sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ nhất. Tính a+b+c .

Đáp án D

Xét biểu thức $T=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$

Gọi $G(1;2;2)$  là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $T={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2={(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^2+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^2+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^2$ $=3\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

Gọi H là hình chiếu của G lên (P) thì $MG\ge HG$  nên  đạt GTNN nếu $M\equiv H$ .

Viết phương trình đường thẳng d đi qua G(1;2;2) và vuông góc (P).

Khi đó d nhận $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(3;-3;-2)$  làm véctơ chỉ phương nên $d:\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-3t\\ z=2-2t\end{array}$

$M=d\cap \left(P\right)$ nên tọa độ của  thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-3t\\ z=2-2t\\ 3x-3y-2z-15=0\end{array}$.

$\Rightarrow 3(1+3t)-3(2-3t)-2(2-2t)-15=0\iff -22+22t=0\iff t=1\Rightarrow M(4;-1;0)$

$\Rightarrow a=\mathrm{4,}b=-\mathrm{1,}c=0\Rightarrow a+b+c=3$