Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất  tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trà hết nợ sau đúng 5 năm kề từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thề ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào trong các số dưới đây

Đáp án B

Goi  là số tiền cô Ngọc vay ban đầu, kí hiệu $r=1\%,A=5$  triệu

- Sau tháng thứ nhất, số tiền nợ là $T_1=T+Tr-A=T(1+r)-A$ .

- Sau tháng thứ hai, số tiền nợ là

$T_2=T(1+r)-A+\left[T\right(1+r)-A]r-A=T(1+r)+T(1+r)r-A-Ar-A$$=T{(1+r)}^2-A(1+r)-A$.

- Sau tháng thứ ba, số tiền nợ là:

$\begin{array}{l}=T{(1+r)}^2-A(1+r)-A+\left[T{(1+r)}^2-A(1+r)-A\right]r-A\\ =T{(1+r)}^3-A{(1+r)}^2-A(1+r)-A\\ =T{(1+r)}^3-A\left[{(1+r)}^2+(1+r)+1\right]=T{(1+r)}^3-A\frac{{(1+r)}^3-1}{1+r-1}\\ =T{(1+r)}^3-\frac{A}{r}[{(1+r)}^3-1]\end{array}$…

- Sau tháng thứ , số tiền nợ là $T_n=T{(1+r)}^n-\frac{A}{r}[{(1+r)}^n-1]$ .

Do sau 5 năm (60 tháng) thì cô Ngọc trả hết nợ nên $T_{60}=0$ . $\iff T(1+1\%)-\frac{5}{1\%}[{(1+1\%)}^{60}-1]=0\iff T\approx \mathrm{224,775}$  triệu

Do tháng cuối cùng có thể trả ít hơn 5 triệu nên số nợ ban đầu không vượt quá 224,775 triệu.

Vậy nên số nợ ban đầu có thề là 224 triệu.

 Số nợ không thể là 225 tr vì nếu vậy thì sau 60 tháng không thể trả hết nợ mà sẽ còn dư nợ đến tháng thứ 61 (mâu thuẫn giả thiết).