Câu hỏi:

15/06/2022 4,541

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $(S_{1}) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ và $(S_{2}) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1.$ Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu $(S_{2})$ sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $(S_{1})$ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là:

A. $8 π$

B. $4 \sqrt{6} π$

C. $2 \sqrt{30} π$

D. $4 π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) (ảnh 1)

Mặt cầu $(S_{1}) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ có tâm $I_{1} (2; - 3; 1)$ , bán kính $R_{1} = 2.$

Mặt cầu $(S_{2}) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1$ có tâm $I_{2} (3; - 1; - 1)$ , bán kính $R_{2} = 1.$

Ta có: $I_{1} I_{2} = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 3 = R_{1} + R_{2} .$

$\Rightarrow (S_{1}), (S_{2})$ tiếp xúc ngoài.

Gọi $(P), (Q), (R)$ là 3 mặt phẳng đi qua M đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $(S_{1})$ theo ba đường tròn.

Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_{1}$ lên $(P), (Q), (R) .$

$r_{1}, r_{2}, r_{3}$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_{1}, H_{2}, H_{3} .$

Khi đó ta có $I_{1} H_{1}^{2} + I_{1} H_{2}^{2} + I_{1} H_{3}^{2} = I_{1} M^{2}$

$\Leftrightarrow 4 - r_{1}^{2} + 4 - r_{2}^{2} + 4 - r_{3}^{2} = I_{1} M^{2}$

Tổng chu vi 3 đường tròn là:

$T = 2 π r_{1} + 2 π r_{2} + 2 π r = 2 π (r_{1} + r_{2} + r_{3})$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

${(r_{1} + r_{2} + r_{3})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2})$

$\Rightarrow r_{1} + r_{2} + r_{3} \leq \sqrt{3 (12 - I_{1} M^{2})}$

$\Rightarrow T \leq 2 π \sqrt{3 (12 - I_{1} M^{2})} \leq 2 π \sqrt{3 (12 - R_{1}^{2})} = 2 π \sqrt{3 (12 - 4)} = 4 π \sqrt{6} .$

Vậy $T_{\max} = 4 π \sqrt{6} .$ Dấu “=” xảy ra khi $r_{1} = r_{2} = r_{3}, I_{1} M = 2.$

Chọn B.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Mùa hè năm 2021, để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm cho các bạn nhỏ, dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất ăn của mỗi ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11, do số lượng thành viên tham gia tăng lên, nên lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên 10% mỗi ngày (ngày sau tăng 10% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

A. 24

B. 25

C. 23

D. 26

Lời giải

Gọi lượng thức ăn dự kiến đủ dùng trong 1 ngày là x $\Rightarrow$ Tổng số thực phẩm là 45x.

Số thực phẩm dùng trong 10 ngày đầu là 10x

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ 11 là: $x (1 + 0, 1) = 1, 1 x .$

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ 12 là: $1, 1 x (1 + 0, 1) = 1, 1^{2} x .$

…

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ n là: $1, 1^{n} x .$

$\Rightarrow$ Lượng thực phẩm tiêu thụ thực tế trong n + 10 ngày là:

$10 x + 1, 1 x + 1, 1^{2} x + ... + 1, 1^{n} x$

$= 10 x + 1, 1 x (1 + 1, 1 + ... + 1, 1^{n - 1})$

$= 10 x + 1, 1 x . \frac{1 (1 - 1, 1^{n})}{1 - 1, 1} = 10 x + 11 x (1, 1^{n} - 1)$

Để sau n + 10 ngày dùng sản phẩm thì

$10 x + 11 x (1, 1^{n} - 1) = 45 x$

$\Leftrightarrow 11 (1, 1^{n} - 1) = 35$

$\Leftrightarrow n \approx 15, 011$

Vậy lượng thực phẩm dự kiến đủ dùng cho 10 + 15 = 25 (ngày).

Chọn B.

Câu 2

Một lớp 12 có hai tổ, mỗi tổ có 16 học sinh. Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông 2021, tổ 1 có 10 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên, 6 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có 9 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội, 7 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ một bạn. Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là

A. $\frac{33}{64}$

B. $\frac{124}{C_{32}^{2}}$

C. $\frac{31}{64}$

D. $\frac{124}{A_{32}^{2}}$

Lời giải

Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một bạn $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{16}^{1} . C_{16}^{1} = 256.$

Gọi A là biến cố: “Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp”.

TH1: 2 bạn được chọn cùng đăng kí thi tổ hợp tự nhiên $\Rightarrow$ Có $C_{10}^{1} . C_{7}^{1} = 70$ cách.

TH2: 2 bạn được chọn cùng đăng kí thi tổ hợp xã hội $\Rightarrow$ Có $C_{6}^{1} . C_{9}^{1} = 54$ cách.

$\Rightarrow n (A) = 70 + 54 = 124.$

Vậy xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{124}{256} = \frac{31}{64} .$

Chọn C.

Câu 3

Nghiệm của phương trình $\log_{3} x = \frac{1}{3}$ là:

A. x = 27

B. $x = \sqrt[3]{3}$

C. $x = \frac{1}{3}$

D. $x = \frac{1}{27}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có $(S A B) ⊥ (A B C D)$ có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại $S, S A = a, S B = a \sqrt{3} .$ Giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là:

A. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{51}}{7}$

D. $\sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là:

A. 30

B. $C_{18}^{2} . C_{12}^{2}$

C. $C_{20}^{2}$

D. 216

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 2| + 2 |3 - \bar{z}| .$ Tổng M + m bằng:

A. 14

B. 7

C. $\frac{45 + 3 \sqrt{55}}{5}$

D. $\frac{15 + 5 \sqrt{33}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Nghiệm của phương trình $\log_{3} x = \frac{1}{3}$ là:

Cho hình chóp S.ABCD có $(S A B) ⊥ (A B C D)$ có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại $S, S A = a, S B = a \sqrt{3} .$ Giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là:

Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 2| + 2 |3 - \bar{z}| .$ Tổng M + m bằng: