Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+m,(m$  là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m\in [-10;10]$  sao cho $\underset{{}_{[1;2]}}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{{}_{[1;2]}}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 10$  . Số phần S là:

Đáp án C

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+m$ , hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ .

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-4x>\mathrm{0,}\forall x\in (1;2)\Rightarrow$  Hàm số $f\left(x\right)$  đồng biến trên đoạn $[1;2]$ , do đó $\underset{[1;2]}{\max }f\left(x\right)=m+8;\underset{[1;2]}{\min }f\left(x\right)=m-1$ .

TH1: $m-1\ge 0\iff 1\le m\le 10$  thì $\underset{[1;2]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=m+8;\underset{[1;2]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=m-1$ .

Khi đó: $\underset{[1;2]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{[1;2]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 10\iff m+8+m-1\ge 10\Rightarrow m\ge \frac{3}{2}\Rightarrow m\in \{2;3;4;\dots ;10\}$

 trường hợp này có 9 số nguyên.

TH2:  $m+8\le 0\iff -10\le m\le -8$ thì $\underset{[1;2]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=-m+1;\underset{[1;2]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=m-8$  .

Khi đó: $\underset{[1;2]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+\underset{[1;2]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 10\iff -m+1-m-8\ge 10\Rightarrow -10\le m\le \frac{-17}{2}\Rightarrow m\in \{-10;-9\}$

 trường hợp này có 2 số nguyên.

TH3: $-8<m<1$  thì $\underset{[1;2]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0;\underset{[1;2]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\{\begin{array}{l}-m+1khi-8<m\le \frac{-7}{2}\\ m+8khi\frac{-7}{2}<m<1\end{array}$

Do m là số nguyên nên: $\underset{[1;2]}{\max }\left|f\right(x\left)\right|+\underset{[1;2]}{\min }\left|f\right(x\left)\right|\ge 10\iff [\begin{array}{c}-m+1\ge \mathrm{10,}khi-8<m\le -4\\ m+8\ge \mathrm{10,}\text{ khi }-4<m<1\end{array}$

 không tồn tại m thỏa mãn.

Vậy số phần tử của tập  là 11 .