Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  với $a,b,c,d\in ℝ$  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Gọi  là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn $[-10;10]$  của tham số  để bất phương trình $f\left(\sqrt{1-x^2}\right)+\frac{2}{3}{x}^3-x^2+\frac{8}{3}\le f\left(m\right)$  có nghiệm. Số phần tử của tập hợp  là

Đáp án D

Điều kiện: $-1\le x\le 1$

Khi đó trở thành tìm m để bất phương trình $f\left(\sqrt{1-x^2}\right)+\frac{2}{3}{x}^3-x^2+\frac{8}{3}\le f\left(m\right)$   có nghiệm $x\in [-1;1]$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(\sqrt{1-x^2}\right)+\frac{2}{3}{x}^3-x^2+\frac{8}{3}$  trên $[-1;1]$ .

Bài toán trở thành tìm m để $f\left(m\right)\ge g\left(x\right)$  có nghiệm $x\in [-1;1]\iff f\left(m\right)\ge \underset{[-1;1]}{\min }g\left(x\right)$ .

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}.f^{\text{'}}\left(\sqrt{1-x^2}\right)+2x^2-2x=x[-\frac{f^{\text{'}}\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}+2x-2]\iff x=0$ .

Vì $x\in [-1;1]\Rightarrow \{\begin{array}{l}0\le \sqrt{1-x^2}\le 1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(\sqrt{1-x^2}\right)>0\\ -4\le 2x-2\le 0\end{array}\Rightarrow -\frac{f^{\text{'}}\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}+2x-2<0$ .

Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left(x\right)$   trên $[-1;1]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f\left(m\right)\ge \underset{[-1;1]}{\min }g\left(x\right)=g(-1)=4;$  dựa vào đồ thị ta có $[\begin{array}{l}m>0\\ m=-3\end{array}$ .

Do $\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in [-10;10]\end{array},$  nên $m\in \{-3;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$ .

Vậy có 11 số nguyên  thỏa mãn.