Cho phương trình${(x^2-3x+m)}^2+x^2-8x+2m=0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[-20;20]$  để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

Đáp án B

+ Đặt $x^2-3x+m=t$  rồi biến đổi đưa về phương trình tích.

+ Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.

+ Phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$   có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right);y=g\left(x\right)$ .

Xét phương trình ${(x^2-3x+m)}^2+x^2-8x+2m=0\iff {(x^2-3x+m)}^2+(x^2-3x+m)-5x+m=0$

Đặt $x^2-3x+m=t\Rightarrow m=t^2-x^2+3x$  ta có phương trình: 

$t^2+t-5x+t-x^2+3x=0\iff t^2-x^2+2t-2x=0\iff (t-x)(t+x+2)=0$

$\iff [\begin{array}{l}t-x=0\\ t+x+2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-4x+m=0\\ x^2-2x+2+m=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=-x^2+4x\\ m=-x^2+2x-2\end{array}$

Ta có đồ thị hàm số  $y=-x^2+4x$ và $y=-x^2+2x-2$  .

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì $\{\begin{array}{l}m<-1\\ m\ne -5\end{array}$  .