Cho số phức z thỏa mãn $|z+1|=\sqrt{3}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $T=|z+4-i|+|z-2+i|$

Đáp án B

+ Số phức $z=x+yi(x;y\in R)$  có mô đun $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

+ Sử dụng BĐT Bunhiacốpxki với hai bộ số $(a;b),(x;y)$   ta có ${(ax+by)}^2\le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$

+ Dấu  xảy ra khi $\frac{x}{a}=\frac{b}{y}$ .

Gọi số phức $z=x+yi(x;y\in R)$

Theo đề bài $|z+1|=\sqrt{3}\iff |x+1+yi|=\sqrt{3}\iff {(x+1)}^2+y^2=3$

 Ta có $T=|z+4-i|+|z-2+i|=\left|x+4+(y-1)i\right|+\left|x-2+(y+1)i\right|$

$=\sqrt{{(x+4)}^2+{(y-1)}^2}+\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}$

Áp dụng BDT Bunhiacốpxki ta có:

$T^2={(\sqrt{{(x+4)}^2+{(y-1)}^2}+\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2})}^2\le (1^2+1^2)[{(x+4)}^2+{(y-1)}^2+{(x-2)}^2+{(y+1)}^2]$

$T^2\le 2(2x^2+2y^2+4x+22)=4({(x+1)}^2+y^2+10)=52$ (vì ${(x+1)}^2+y^2=3)$

Do đó $T\le 2\sqrt{13}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{l}{(x+4)}^2+{(y-1)}^2={(x-2)}^2+{(y+1)}^2\\ {(x+1)}^2+y^2=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=3x+3\\ {(x+1)}^2+{(3x+3)}^2=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=\frac{9}{\sqrt{10}}+3\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=-\frac{9}{\sqrt{10}}+3\end{array}\end{array}$

Vậy $T_{\max }=2\sqrt{13}$ .