Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+1$ . Tìm số nghiệm của phương trình $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ .

Đáp án D

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x+1$  xác định trên R và có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ .

Đồ thị (hình vẽ bên):

Sử dụng MTCT ta có $f\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=x_1\in (-2;-11)\\ x=x_2\in (0;1)\\ x=x_3\in (1;2)\end{array}$

$\Rightarrow f\left(f\right(x\left)\right)=0\iff f\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=x_1\in (-2;-1)\left(1\right)\\ f\left(x\right)=x_2\in (0;1)\left(2\right)\\ f\left(x\right)=x_3\in (1;2)\left(3\right)\end{array}$

+ Đường thẳng $y=x_1\in (-2;-1)$cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm duy nhất.

+ Đường thẳng $y=x_2\in (0;1)$  cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại 3 điểm nên (2) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Đường thẳng $y=x_3\in (1;2)$  cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại 3 điểm nên (3) có 3 nghiệm phân biệt. Hơn nữa trong ba nghiệm này không có nghiệm nào trùng với nghiệm của (1) và (2).

Vậy tổng số nghiệm của ba phương trình (1), (2), (3) là  $1+3+3=7$ nghiệm.