Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [f'(x)]2+f(x).f''(x)=x3−2x ∀x∈ℝ và f(0)=f'(0)=2. Tính giá trị của T=f2(2) A. 26815. B. 16015. C. 26830. D. 415.

Đáp án A Ta có: VT=[f(x).f'(x)]'=f'(x).f'(x)+f(x).f''(x)=[f'(x)]2+f(x).f''(x) ⇒[f'(x).f(x)]'=x3−2x (*) Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: f'(x).f(x)=x44−x2+C (1) Lại có: f'(0)=f(0)=2⇒C=2.2=4⇒(1)⇔f(x).f'(x)=x44−x2+4 ⇒∫f(x)f'(x)dx=∫(x44−x2+4)dx⇔∫f(x)df(x)=x520−x33+4x+A⇔f2(x)2=x520−x33+4x+A⇔f2(x)=x510−2x33+8x+2A Có f(0)=2⇒4=2A⇔A=2⇒f2(x)=x510−2x33+8x+4 ⇒f2(x)=2510−2.233+8.2+4=26815

Câu hỏi:

18/06/2022 4,055

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x) = x^{3} - 2 x \forall x \in ℝ$ và $f (0) = f' (0) = 2.$ Tính giá trị của $T = f^{2} (2)$

\frac{268}{15} .

\frac{160}{15} .

\frac{268}{30} .

\frac{4}{15} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Ta có: $V T = [f (x) . f' (x)]' = f' (x) . f' (x) + f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x)$

$\Rightarrow [f' (x) . f (x)]' = x^{3} - 2 x (*)$

Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: $f' (x) . f (x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + C (1)$

Lại có: $f' (0) = f (0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow f (x) . f' (x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int f (x) f' (x) d x = \int (\frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 4) d x \Leftrightarrow \int f (x) d f (x) = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x + A \\ \Leftrightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x + A \Leftrightarrow f^{2} (x) = \frac{x^{5}}{10} - \frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 A \end{array}$

Có $f (0) = 2 \Rightarrow 4 = 2 A \Leftrightarrow A = 2 \Rightarrow f^{2} (x) = \frac{x^{5}}{10} - \frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 4$

$\Rightarrow f^{2} (x) = \frac{2^{5}}{10} - \frac{{2.2}^{3}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{268}{15}$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24} .

Lời giải

Đáp án A

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a/ căn2, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 độ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD. (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

Ta có ${\begin{cases} (S A C) \cap (A B C D) = A C \\ (S A C) \supset S H ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Ta có: $∠ (S A, (A B C D)) = ∠ (S A, A H) = ∠ (S A, A C) = ∠ S A C$

Ta có: $∠ A C = A B \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \sqrt{2} = a$

Xét $Δ S A C$ vuông tại S ta có: ${\begin{cases} S A = A C . c o s 60^{o} = \frac{a}{2} \\ S C = A C . \sin 60^{o} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Áp dụng hệ thức lượng cho $Δ S A C$ vuông tại S và có đường cao SH ta có:

$S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{\frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$ $\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

M (3; 3; - 3) .

M (3; - 3; 3) .

M (- 3; 3; 3) .

M (- 3; - 3; 3) .

Lời giải

Đáp án C

Gọi điểm $I (a, b, c)$ thỏa mãn $\vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

Ta có: ${\begin{cases} \vec{I A} = (- 3 - a; - b; - c) \\ \vec{I B} = (- a; - b; 3 - c) \\ \vec{I C} = (- a; - 3 - b; - c) \end{cases} \Rightarrow \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = (- 3 - a; 3 - b; 3 - c) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 - a = 0 \\ 3 - b = 0 \\ 3 - c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 3 \\ b = 3 \\ c = 3 \end{cases} \Leftrightarrow I (- 3; 3; 3)$

Ta có $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} | = | \vec{M I} + \vec{I A} + \vec{M I} + \vec{I B} - \vec{M I} - \vec{I C} | = | \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) | = | \vec{M I} | = M I$

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất là hình chiếu của I trên (P)

Ta thấy $- 3 + 3 + 3 - 3 = 0 \Rightarrow I \in (P)$

Nên hình chiếu của I trên (P) là chính nó

Do đó $M \equiv I \Rightarrow M (- 3; 3; 3)$

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vecto

\vec{a}

không vuông góc với

\vec{b}

B. Vecto

\vec{a}

cùng phương với

\vec{b}

| \vec{a} | = \sqrt{14} .

[\vec{a}; \vec{b}] = (- 5; - 7; - 3)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m + 2 n = 10.$

2 m^{2} - 3 m < 15.

m^{2} - n = 30.

4 m - n^{2} = - 20.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

a \sqrt{2} .

2 a \sqrt{3} .

3 a \sqrt{2} .

a \sqrt{3} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.

B. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.$

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

b < 0, c < 0, d > 0.

b > 0, c < 0, d > 0.

b < 0, c > 0, d < 0.

b > 0, c > 0, d > 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý