Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [f'(x)]2+f(x).f''(x)=x3−2x ∀x∈ℝ và f(0)=f'(0)=2. Tính giá trị của T=f2(2) A. 26815. B. 16015. C. 26830. D. 415.

Đáp án A Ta có: VT=[f(x).f'(x)]'=f'(x).f'(x)+f(x).f''(x)=[f'(x)]2+f(x).f''(x) ⇒[f'(x).f(x)]'=x3−2x (*) Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: f'(x).f(x)=x44−x2+C (1) Lại có: f'(0)=f(0)=2⇒C=2.2=4⇒(1)⇔f(x).f'(x)=x44−x2+4 ⇒∫f(x)f'(x)dx=∫(x44−x2+4)dx⇔∫f(x)df(x)=x520−x33+4x+A⇔f2(x)2=x520−x33+4x+A⇔f2(x)=x510−2x33+8x+2A Có f(0)=2⇒4=2A⇔A=2⇒f2(x)=x510−2x33+8x+4 ⇒f2(x)=2510−2.233+8.2+4=26815

Câu hỏi:

18/06/2022 2,621

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x) = x^{3} - 2 x \forall x \in ℝ$ và $f (0) = f' (0) = 2.$ Tính giá trị của $T = f^{2} (2)$

A.

\frac{268}{15} .

Đáp án chính xác

B.

\frac{160}{15} .

C.

\frac{268}{30} .

D.

\frac{4}{15} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Ta có: $V T = [f (x) . f' (x)]' = f' (x) . f' (x) + f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x)$

$\Rightarrow [f' (x) . f (x)]' = x^{3} - 2 x (*)$

Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: $f' (x) . f (x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + C (1)$

Lại có: $f' (0) = f (0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow f (x) . f' (x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int f (x) f' (x) d x = \int (\frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 4) d x \Leftrightarrow \int f (x) d f (x) = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x + A \\ \Leftrightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x + A \Leftrightarrow f^{2} (x) = \frac{x^{5}}{10} - \frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 2 A \end{array}$

Có $f (0) = 2 \Rightarrow 4 = 2 A \Leftrightarrow A = 2 \Rightarrow f^{2} (x) = \frac{x^{5}}{10} - \frac{2 x^{3}}{3} + 8 x + 4$

$\Rightarrow f^{2} (x) = \frac{2^{5}}{10} - \frac{{2.2}^{3}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{268}{15}$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24} .

Xem đáp án » 14/06/2022 24,699

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vecto

\vec{a}

không vuông góc với

\vec{b}

B. Vecto

\vec{a}

cùng phương với

\vec{b}

C.

| \vec{a} | = \sqrt{14} .

D.

[\vec{a}; \vec{b}] = (- 5; - 7; - 3)

Xem đáp án » 14/06/2022 9,181

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m + 2 n = 10.$

B.

2 m^{2} - 3 m < 15.

C.

m^{2} - n = 30.

D.

4 m - n^{2} = - 20.

Xem đáp án » 14/06/2022 5,178

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

A.

a \sqrt{2} .

B.

2 a \sqrt{3} .

C.

3 a \sqrt{2} .

D.

a \sqrt{3} .

Xem đáp án » 17/06/2022 5,001

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

A.

4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.

B. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.$

C.

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

D.

4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 3,753

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

b < 0, c < 0, d > 0.

B.

b > 0, c < 0, d > 0.

C.

b < 0, c > 0, d < 0.

D.

b > 0, c > 0, d > 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 3,583

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

A.

M (3; 3; - 3) .

B.

M (3; - 3; 3) .

C.

M (- 3; 3; 3) .

D.

M (- 3; - 3; 3) .

Xem đáp án » 15/06/2022 2,979

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x) = x^{3} - 2 x \forall x \in ℝ$ và $f (0) = f' (0) = 2.$ Tính giá trị của $T = f^{2} (2)$

Nhà sách VIETJACK:

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [f'(x)]2+f(x).f''(x)=x3−2x ∀x∈ℝ và f(0)=f'(0)=2. Tính giá trị của T=f2(2)

Nhà sách VIETJACK:

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a2,ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a→=(1;−2;3) và b→=(2;−1;−1) . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có SC=x(0<x<a3), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=amn(m,n∈ℕ*). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

Cho hàm số y=x3+bx2+cx+d,(b,c,d∈ℝ) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−3;0;0);B(0;0;3);C(0;−3;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−3=0. Tìm trên (P) điểm M sao cho |MA→+MB→−MC→| nhỏ nhất

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} + f (x) . f'' (x) = x^{3} - 2 x \forall x \in ℝ$ và $f (0) = f' (0) = 2.$ Tính giá trị của $T = f^{2} (2)$

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất