Câu hỏi:

14/06/2022 5,437

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m + 2 n = 10.$

Đáp án chính xác

B.

2 m^{2} - 3 m < 15.

C.

m^{2} - n = 30.

D.

4 m - n^{2} = - 20.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có SC=x( 0<x< a căn3) các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=(a căn m)/ n( m,n thuộc N*) . Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Vì $S A = S B = S D = a$ nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$A B D \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Do tam giác ABD cân tại $A \Rightarrow H \in A C$

Dễ dàng chứng minh được: $Δ S B D = Δ A B D (c . c . c) \Rightarrow S O = A O = \frac{A C}{2} \Rightarrow Δ S A C$ vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

$\Rightarrow A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có $S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

Ta có $O A = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

$\Rightarrow O B = \sqrt{A B^{2} - O A^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{2} \Rightarrow B D = \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}$

Do ABCD là hình thoi $\Rightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D$

Khi đó ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{6} . \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} \sqrt{a^{2} + x^{2}} . \sqrt{3 a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{6} a x \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $x \sqrt{3 a^{2} - x^{2}} \leq \frac{x^{2} + 3 a^{2} - x^{2}}{2} = \frac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{1}{6} a \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{4}$

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow x^{2} = 3 a^{2} - x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} = \frac{a \sqrt{m}}{n} \Rightarrow {\begin{cases} m = 6 \\ n = 2 \end{cases} \Rightarrow m + 2 n = 10

Bình luận

Câu 1:

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24} .

Xem đáp án » 14/06/2022 27,237

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vecto

\vec{a}

không vuông góc với

\vec{b}

B. Vecto

\vec{a}

cùng phương với

\vec{b}

C.

| \vec{a} | = \sqrt{14} .

D.

[\vec{a}; \vec{b}] = (- 5; - 7; - 3)

Xem đáp án » 14/06/2022 9,630

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

A.

a \sqrt{2} .

B.

2 a \sqrt{3} .

C.

3 a \sqrt{2} .

D.

a \sqrt{3} .

Xem đáp án » 17/06/2022 6,938

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

A.

M (3; 3; - 3) .

B.

M (3; - 3; 3) .

C.

M (- 3; 3; 3) .

D.

M (- 3; - 3; 3) .

Xem đáp án » 15/06/2022 5,086

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

A.

4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.

B. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.$

C.

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

D.

4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 4,785

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

b < 0, c < 0, d > 0.

B.

b > 0, c < 0, d > 0.

C.

b < 0, c > 0, d < 0.

D.

b > 0, c > 0, d > 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 3,641

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình chóp S.ABCD có SC=x(0<x<a3), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=amn(m,n∈ℕ*). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a2,ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a→=(1;−2;3) và b→=(2;−1;−1) . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−3;0;0);B(0;0;3);C(0;−3;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−3=0. Tìm trên (P) điểm M sao cho |MA→+MB→−MC→| nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

Cho hàm số y=x3+bx2+cx+d,(b,c,d∈ℝ) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\vec{a} = (1; - 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; - 1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (- 3; 0; 0); B (0; 0; 3); C (0; - 3; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $| \vec{M A} + \vec{M B} - \vec{M C} |$ nhỏ nhất

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?