Cho hình chóp S.ABCD có $SC=x(0<x<a\sqrt{3}),$  các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi  $x=\frac{a\sqrt{m}}{n}(m,n\in {\mathbb{N}}^{*})$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án A

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAC$  vuông tại S và có đường cao SH ta có:

 $SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Đáp án C

Gọi điểm  $I(a,b,c)$ thỏa mãn  $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ 

Ta có:  $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IA}=(-3-a;-b;-c)\\ \overrightarrow{IB}=(-a;-b;3-c)\\ \overrightarrow{IC}=(-a;-3-b;-c)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=(-3-a;3-b;3-c)=\overrightarrow{0}$

$\iff \{\begin{array}{l}-3-a=0\\ 3-b=0\\ 3-c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\\ c=3\end{array}\iff I(-3;3;3)$

Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC}|=|\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC})|=\left|\overrightarrow{MI}\right|=MI$

Do đó  nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất  là hình chiếu của I trên (P)

Ta thấy $-3+3+3-3=0\Rightarrow I\in \left(P\right)$

Nên hình chiếu của I trên (P) là chính nó

Do đó $M\equiv I\Rightarrow M(-3;3;3)$