Câu hỏi:

14/06/2022 3,982

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m + 2 n = 10.$

Đáp án chính xác

B.

2 m^{2} - 3 m < 15.

C.

m^{2} - n = 30.

D.

4 m - n^{2} = - 20.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có SC=x( 0<x< a căn3) các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=(a căn m)/ n( m,n thuộc N*) . Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Vì $S A = S B = S D = a$ nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$A B D \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Do tam giác ABD cân tại $A \Rightarrow H \in A C$

Dễ dàng chứng minh được: $Δ S B D = Δ A B D (c . c . c) \Rightarrow S O = A O = \frac{A C}{2} \Rightarrow Δ S A C$ vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

$\Rightarrow A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có $S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

Ta có $O A = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}$

$\Rightarrow O B = \sqrt{A B^{2} - O A^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{2} \Rightarrow B D = \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}$

Do ABCD là hình thoi $\Rightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D$

Khi đó ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{6} . \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} \sqrt{a^{2} + x^{2}} . \sqrt{3 a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{6} a x \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $x \sqrt{3 a^{2} - x^{2}} \leq \frac{x^{2} + 3 a^{2} - x^{2}}{2} = \frac{3 a^{2}}{2} \Rightarrow V_{S . A B C D} \leq \frac{1}{6} a \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{4}$

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow x^{2} = 3 a^{2} - x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} = \frac{a \sqrt{m}}{n} \Rightarrow {\begin{cases} m = 6 \\ n = 2 \end{cases} \Rightarrow m + 2 n = 10

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24} .

Xem đáp án » 14/06/2022 20,161

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

A.

a \sqrt{2} .

B.

2 a \sqrt{3} .

C.

3 a \sqrt{2} .

D.

a \sqrt{3} .

Xem đáp án » 17/06/2022 3,090

Câu 3:

Trên đồ thị $(C) : y = \frac{x + 1}{x + 2}$ có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng $d : x + y = 1.$

A. 0.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án » 14/06/2022 2,309

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

A.

4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.

B. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.$

C.

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

D.

4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 1,652

Câu 5:

Cho hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} | x |$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục tung.

D. Hàm số đã cho có tập xác định là

D = ℝ \ {0} .

Xem đáp án » 14/06/2022 1,581

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

b < 0, c < 0, d > 0.

B.

b > 0, c < 0, d > 0.

C.

b < 0, c > 0, d < 0.

D.

b > 0, c > 0, d > 0.

Xem đáp án » 14/06/2022 1,376

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABCD có SC=x(0<x<a3), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=amn(m,n∈ℕ*). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a2,ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=2AD=2DC=2a góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ . Độ dài cạnh SA là:

Trên đồ thị (C):y=x+1x+2 có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d:x+y=1.

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B( 2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x+y+3z=0 , (R): 2x-y+z=0 là:

Cho hàm số y=log12|x| . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

Cho hàm số y=x3+bx2+cx+d,(b,c,d∈ℝ) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho hình chóp S.ABCD có $S C = x (0 < x < a \sqrt{3}),$ các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi $x = \frac{a \sqrt{m}}{n} (m, n \in ℕ^{*})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}, Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc $60^{o}$ . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Trên đồ thị $(C) : y = \frac{x + 1}{x + 2}$ có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng $d : x + y = 1.$

Cho hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} | x |$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d, (b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?