Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}},\Delta SAC$  vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc ${60}^o$  . Tính thể tích V của khối chóp SABCD.

Đáp án C

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.2-2.(-1)+3.(-1)=1\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$   không vuông góc $\Rightarrow$   loại đáp án A.

Ta thấy không tồn tại số k để  $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương $\Rightarrow$  loại đáp án B.

 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1+{(-2)}^2+3^2}=\sqrt{14}\Rightarrow$ Đáp án C đúng.

Đáp án A

 $\Rightarrow AC=\sqrt{S{A}^2+S{C}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có   $SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

Ta có  $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}$

$\Rightarrow OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2+x^2}{4}}=\frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}\Rightarrow BD=\sqrt{3a^2-x^2}$

 Do ABCD là hình thoi   $\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD$

Khi đó ta có:  $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{6}.\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{3a^2-x^2}=\frac{1}{6}ax\sqrt{3a^2-x^2}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có:  $x\sqrt{3a^2-x^2}\le \frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}\le \frac{1}{6}a\frac{3a^2}{2}=\frac{a^3}{4}$